KURZUS: Statisztika II.

MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás

7. lecke Kétváltozós korreláció- és regresszió-számítás: Lineáris

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja a korreláció és a regresszió jelentését, tudja a korrelációs együttható által felvehető értékeket, a felsorolásból ki tudja választani a regressziós paraméterek, a relatív hiba és a rugalmassági együttható jelentését, a megadott adatokból ki tudja számolni a regressziós függvény paramétereit, a korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót, a relatív hibát, a rugalmassági együtthatót, értelmezni tudja a kiszámolt értékeket, becslés tud végezni a regressziós paraméterek ismeretében, ki tudja számolni a regressziós paraméterek konfidencia intervallumát.
| Tananyag
| 7.1. Kétváltozós korreláció-számítás
| A mennyiségi ismérvek között meglévő kapcsolat szorosságát és irányát a korreláció-számítással állapíthatjuk meg.
| Ha a mennyiségi ismérvek között nincs kapcsolat, azaz függetlenek egymástól, akkor a szorosság mérőszáma a korrelációs együttható (r) nullával egyenlő.
| Ha egyértelmű kapcsolat van a két mennyiségi ismérv között, akkor a korrelációs együttható (r) értéke (-1;1) közé esik. Ha a korrelációs együttható pozitív, akkor a két ismérv közötti kapcsolat azt jelenti, hogy az egyik ismérv növekedése maga után vonja a másik ismérv növekedését. Negatív kapcsolat esetén az egyik ismérv növekedése a másik ismérv csökkenését okozza.
| A mennyiségi ismérvek eloszlásainak speciális paramétere a kovariancia, amely az átlagtól való eltérések szorzatának számtani átlaga. Az együttes szóródás nagyságrendjét jellemzi, az előjele pedig kifejezi a kapcsolat irányát.
| C= ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ ) n
| A kovariancia felhasználásával kiszámítható a lineáris korrelációs együttható:
| r= C σ x * σ y
| ahol C: a kovariancia, σ x : az egyik változó szórása σ y : a másik változó szórása
| Ha a változók szórására nincs külön szükségünk, akkor a korrelációs együttható másképp is kiszámolható:
| r= ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ ) ∑ ( x i − x ¯ ) 2 *Σ ( y i − y ¯ ) 2
| Vagy:
| r= ∑ x i * y i -n* x ¯ * y ¯ ∑ ( x i 2 -n* x ¯ 2 )Σ( y i 2 -n* y ¯ 2 ) = β 1 * σ x σ y
| A korrelációs együttható négyzete a determinációs együttható, amely százalékban adunk meg, és azt fejezi ki, hogy az egyik ismérv hány százalékban befolyásolja a másik ismérv változását.
| R= r 2
| 7.2. Kétváltozós regresszió-analízis
| Ha két mennyiségi változó közötti függőségi viszonyt valamilyen matematikai képlettel írunk le, akkor regresszió-analízisről beszélünk.
| Az ismérvek közötti függőségi viszonyok feltárásával, az összefüggésekben rejlő tendenciák matematikai függvényekkel történő leírásával a regresszióanalízis foglalkozik.
| A gyakorlati elemző munkában a korreláció- és regresszió-számítást általában együtt, egymást kiegészítve alkalmazzák.
| A regresszió-számítás a statisztikai modellezés egyik egyszerű eszköze, ám egyszerűsége ellenére szinte minden, korábban megismert módszertani elemet felhasznál.
| A regresszió-számításkor általában meg szoktuk különböztetni a két- a többváltozós eseteket. A kétváltozós regresszió analíziskor két változó kapcsolatát vizsgáljuk, az x változó az egyik, ez a magyarázó változó, és az y-lal jelölt (eredményváltozó) változó a másik, amelynek alakulását x változó befolyásolja. A regresszió-számítás során feltételezzük, hogy az eredményváltozónk (y) sztochasztikus kapcsolatban áll a magyarázó változóval Y=f(x)
| A regresszió típusának kiválasztásához először ábrázolni kell az adatokat, mivel az ismérvek közötti kapcsolat lényegének megismerésében fontos szerepet játszik a grafikus ábrázolás. Általában pontdiagramot készítünk.
| Ezután meg kell határozni a regresszió típusát, ehhez azonban szükséges az adott terület szakmai ismerete is. Lineáris esetben az alábbi függvényt használjuk:
| y= β 0 + β 1 ⋅x
| A függvénytípus kiválasztásával azonban a regressziós függvény meghatározásának problémája még nincs megoldva. A végtelen sok egyenes közül azt az egyet keressük, amely az összefüggést a lehető legjobban leírja. A függvény paramétereit a legkisebb négyzetek módszere segítségével határozzuk meg, vagyis:
| S= ∑ ( y i − y ′ i ) 2 ⇒minimum .
| Azt a becslőfüggvényt keressük tehát, amelyik a mintabeli és a számított értékek közötti különbségek négyzetösszege minimális. Lineáris összefüggés esetén a függvényünk:
| y= β 0 + β 1 ⋅x vagy y=a+b*x
| Ezt behelyettesítve S-egyenletébe a következőt kapjuk:
| S= ∑ ( y i − β 0 − β 1 ⋅x ) 2
| A függvénynek ott van minimuma, ahol a két együttható szerinti parciális differenciahányadosa egyenlő nullával. Az egyenlet levezetéséből azt kapjuk, hogy:
| β 1 = ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 = ∑ x i * y i −n * x ¯ * y − ∑ x i 2 −n* x 2 − β 0 = y − − β 1 * x −
| A β 0 paraméter azt fejezi ki, hogy az x=0 helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel, ha a nulla szerepel x lehetséges értékei között.
| A β 1 paraméter geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az x változó egységnyi változása átlagosan mekkora változást okoz az y változóban.
| A kétváltozós kapcsolatok esetében megvizsgáljuk, hogy a becslőfüggvény mennyire közelítette meg a mintabeli tapasztalati értéket. Ezt fejezi ki az (- érték, azaz a reziduális szórás, amelyet a regressziós becslés abszolút hibája is egyben:
| σ e = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 = ∑ e i 2 n−2
| Ami tulajdonképpen az xi pontban vett mintabeli yi értékek és az adott xi ponthoz tartozó becsült y'i értékek közötti eltérések négyzetösszegének a gyöke.
| A gyakorlatban kiszámítjuk ennek relatív nagyságát is:
| C V σ e = σ e y − *100
| A relatív hiba kifejezi, hogy a regressziós becslések értékei átlagosan hány százalékkal térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől. Általában jónak mondjuk a becslőfüggvény illeszkedését, ha: C V σ e <10-15%.
| Az eredményváltozó relatív változásának fontos szerepe van a közgazdasági elemzésekben. A relatív változást fejezi ki a rugalmassági együttható:
| E= d y d x * x 0 y 0
| Az x-magyarázóváltozó adott értékének 1%-os növekedése átlagosan milyen változást eredményez az y-változó értékében. Ez az érték természetesen minden x-értékre kiszámítható:
| E= β 1 * x i y i ∧
| 7.3. A lineáris függvények paramétereinek konfidencia intervalluma
| Általában a statisztikai elemzés során ritkán van lehetőség több mintavételre, ezért arra kell törekedni, hogy egy minta paraméterei fejezzék ki az alapsokasági paramétereket.
| A regressziós paraméterek ( β 0 és β 1 ) maguk is valószínűségi változók, amelyeknek van várhatóértékük és standard hibájuk.
| Az alapsokasági regressziós függvények paramétereinek standard hibája a következő:
| σ β 0 = σ e * ∑ x i 2 n* ∑ ( x i − x − ) 2 σ β 1 = σ e ∑ ( x i − x − ) 2
| Az intervallum meghatározására a t-próbafüggvényt alkalmazzuk, amelynek szabadságfoka: Szf= n-2.
| A valószínűségi intervallum pedig:
| β 0 = β 0 ± t 1− α 2 * σ β 0 β 1 = β 1 ± t 1− α 2 * σ β 1
| 7.4. A regressziós becslések, prognózisok
| A regressziós függvény két ismérv közötti összefüggés tendenciáját írja le. Ez egy becslőfüggvény, ezért felhasználható a tényezőváltozó egy rögzített értékének becslésére, azaz az eredményváltozó átlagos színvonalát becsüljük meg, azaz egy tetszőleges x0-értéket behelyettesítve a regressziós függvény képletébe, megkapjuk a hozzá tartotó y ∧ 0 becsült értékét. Mivel y ∧ 0 becsült érték, ezért kiszámolhatjuk azt az intervallumot, amely a megadott szignifikancia szinten tartalmazni fogja a keresett értéket.
| σ y ∧ 0 = σ e * 1 n + ( x 0 − x ¯ ) 2 ∑ (x− x ¯ ) 2
| A konfidencia intervallum meghatározásához a t-eloszlás próbafüggvényét alkalmazzuk, így az intervallum:
| ( y ∧ 0 ± t 1− α 2 S z f * σ y ∧ 0 )
| A becsléskor az is előfordulhat, hogy egy hiányzó y0-értéket kívánunk megbecsülni az x0-helyen, a magyarázóváltózónak a függvény értelmezési tartományába illeszkedő, konkrét értékeit helyettesítjük be (nem átlagosnak tekintett értékét). Ebben az esetben a standard hiba:
| σ y ∧ 0 = σ e * 1 n + ( x 0 − x ¯ ) 2 ∑ (x− x ¯ ) 2 +1
| A konfidencia intervallum meghatározásához ebben az esetben is a t-eloszlás próbafüggvényét alkalmazzuk, így az intervallum:
| ( y ∧ 0 ± t 1− α 2 S z f * σ y ∧ 0 )
| 7.5. A regressziós függvény eredményeinek hipotézisvizsgálata
| A becsléskor elkövetett hibák alapvetően kétféle okra vezethetők vissza:
| A regressziós paramétereket a mintából számítottuk, tehát becsült értékek, azaz szóródnak az elméleti érték körül. Ezt a szóródást az együtthatók standard hibája fejezi ki. A hiba másik forrása a sztochasztikus kapcsolatban rejlik, mivel a becslés nem a tényleges y-értékeket, hanem azoknak csak az x-től függő részeit adja meg.
| Ezért beszélhetünk a regressziós együtthatók hibájáról, amelyeket az előző alfejezetben 7.3.már tárgyaltunk.
| 7.5.1. A regressziós függvény együtthatóinak hipotézisvizsgálata
| Az ellenőrzés gondolatmenete a következő. Feltételezzük, hogy valójában nincs korreláció, az elméleti paraméter ( β 1 ) nullával egyenlő, és a tapasztalati adatokból számított (b1) paraméter nullától való eltérését csak a véletlen okozza. A regressziós együttható tesztelése t-próbával történik.
| H0: β 1 =0 illetve H1: β 1 ≠0
| A nullhipotézis helyességének ellenőrzését próbafüggvénnyel ellenőrizhetjük. Az ellenőrzés α szignifikancia szinten azt jelenti, hogy a | t |= | β 1 | σ β 1 〈 t 1−α/2 teljesülése esetén fogadjuk el ezen a szignifikancia szinten a nullhipotézist.
| Konkrét esetben:
| t 0 = β 1 σ β 1
| A próbafüggvény nem más, mint a regressziós együttható becsült értékének és a hozzá tartozó standard hibának a hányadosa. A szabadságfok n-2. Ha a számított t-érték kisebb, mint a táblázatbeli t-érték, akkor a nullhipotézist fogadjuk el, ellenkező esetben pedig az alternatív hipotézist.
| 7.5.2. Variancianalízis alkalmazása a regresszió számításban
| A regressziós együttható tesztelése mellett magának a regressziófüggvénynek a hipotézisellenőrzése is elvégezhető. Ez varianciaanalízissel történik. Ehhez az alábbi számításokat kell elvégezni (az eltérés négyzetösszegek számítását a II. Modulban már tanultuk):
| S S T= ∑ ( y i − y ) 2 _ S S R= ∑ ( y i ' − y ) 2 _ S S E= ∑ ( y i − y i ' ) 2 S S T=S S R+S S E
| Különleges jelentősége van a reziduális négyzetösszegnek (SSE), mivel a megfigyelt értékeknek a regressziós függvény körüli szóródását fejezi ki.
| Ha SSE=0, ez az jelenti, hogy a függő változó teljes varianciája megmagyarázható a tényezőváltozó segítségével. Minden megfigyelt yi érték a regressziós függvényen helyezkedik el. Egyéb tényezőknek nincs hatása az eredményváltozóra, vagyis az ismérvek között függvényszerű kapcsolat van.
| Ha az SSE ≠0, akkor a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn. Minél nagyobb a reziduális négyzetösszeg értéke, annál nagyobb szerepet játszik a függő változó szóródásában.
| A varianciatáblázat a következő:
A szórásnégyzet forrása | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ)
Regresszió | S S R= ∑ ( y i ' − y ) 2 _ | 1 | ∑ ( y i ' − y ) 2 _ 1
Hibatényező | S S E= ∑ ( y i − y i ' ) 2 | n-2 | ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2
Teljes | S S T= ∑ ( y i − y ) 2 _ | n-1 | -
| H0: β 1 =0 illetve H1: β 1 ≠0
| A nullhipotézist F-próbával ellenőrizzük:
| F 0 = S S R 1 S S E n−2 = M S R M S E , ahol a számláló szabadságfoka szf1=1, a nevezőé pedig szf2=n-2. Ha számított F-érték kisebb, mint a táblázatbeli, akkor a nullhipotézist elfogadjuk, ellenkező esetben elvetjük.

|  | Bemutató feladat
| Egy 60 fős sokaságra a statisztika írásbeli dolgozatok eredményeit és a felkészülésre fordított idő nagyságát vizsgálva 13 elemű mintát vettek, az alábbi eredményekkel:
| Idő (óra) x változó | Dolgozat eredménye (pont) y váltó | x2 | x-xátlag | (x-xátlag)2 | (y-yátlag) | (y-yátlag)2 | (x-xátlag)*(y-yátlag)
| 0 | 40 | 0 | -6 | 36 | -28 | 784 | 168
| 1 | 50 | 1 | -5 | 25 | -18 | 324 | 90
| 2 | 48 | 4 | -4 | 16 | -20 | 400 | 80
| 3 | 52 | 9 | -3 | 9 | -16 | 256 | 48
| 4 | 58 | 16 | -2 | 4 | -10 | 100 | 20
| 5 | 66 | 25 | -1 | 1 | -2 | 4 | 2
| 6 | 70 | 36 | 0 | 0 | 2 | 4 | 0
| 7 | 74 | 49 | 1 | 1 | 6 | 36 | 6
| 8 | 72 | 64 | 2 | 4 | 4 | 16 | 8
| 9 | 82 | 81 | 3 | 9 | 14 | 196 | 42
| 10 | 82 | 100 | 4 | 16 | 14 | 196 | 56
| 11 | 93 | 121 | 5 | 25 | 25 | 625 | 125
| 12 | 97 | 144 | 6 | 36 | 29 | 841 | 174
össz. | 78 | 884 | 650 | 0 | 182 | 0 | 3782 | 819
átlag | 6 | 68 |  |  |  |  |  |
| Feladat: számítsuk ki a regressziós függvény paramétereit! Először ábrázoljuk az adatokat, és illesszünk rá függvényt
| β 1 = ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 = 819 182 =4,5 β 0 = y − − β 1 * x − =68−4,5*6=41 y ' =41+4,5 x
| β 1 : azok a hallgatók, akik 1 órával többet tanultak, átlagosan 4,5 ponttal jobb eredményt értek el.
| β 0 : akik nem készültek a dolgozatra, azok átlagosan 41 pontos eredményre számíthatnak.
| Ezután összehasonlítjuk a tényeleges és a regresszióval becsült adatokat.
| Az y'-t úgy kapom meg, hogy az egyenletbe (y'=41+4,5x) rendre behelyettesítem az x-értékeit. Ezután minden eredeti y-ból kivonom a kiszámított y'-értékrit, majd az eredményt négyzetre emelem.
Idő (óra) x változó | Dolgozat eredménye (pont) y váltó | y' | y-y' | (y-y')2
0 | 40 | 41 | -1 | 1
1 | 50 | 45,5 | 4,5 | 20,25
2 | 48 | 50 | -2 | 4
3 | 52 | 54,5 | -2,5 | 6,25
4 | 58 | 59 | -1 | 1
5 | 66 | 63,5 | 2,5 | 6,25
6 | 70 | 68 | 2 | 4
7 | 74 | 72,5 | 1,5 | 2,25
8 | 72 | 77 | -5 | 25
9 | 82 | 81,5 | 0,5 | 0,25
10 | 82 | 86 | -4 | 16
11 | 93 | 90,5 | 2,5 | 6,25
12 | 97 | 95 | 2 | 4
Összesen |  |  |  | 96,5
| σ e = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 = 96,5 13−2 =2,96
| C V σ e = σ e y − *100= 2,96 68 *100=4,35%
| A becslőfüggvény illeszkedése jónak mondható.
| A lineáris paraméterek konfidencia intervalluma:
| σ β 0 = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 * ∑ x i 2 n* ∑ ( x i − x − ) 2 =2,96* 650 2366 =1,55 σ β 1 = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 ∑ ( x i − x − ) 2 = 2,96 182 =0,22
| t0,975(11)=2,20
| β 0 =41 ±2,2*1,55, β 1 =4,5 ±2,2*0,22
| r= ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 * ∑ ( y i − y − ) 2 = 819 182*3782 =0,987
| R2=97,45 %
| A tanulásra fordított idő 97,45%-ban meghatározza az elért pontszámot.
| SST=3782 SSR=3685,5 SSE=96,5
A szórásnégyzet forrása | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ)
Regresszió | 3685,5 | 1 | 3685,5
Hibatényező | 96,5 | 11 | 8,77
Teljes | 3782 | 12 | -
| F 0 = M S R M S E = 3685,5 8,77 =420,24
| A táblázatbeli F-érték
| F 11( 0,95 ) 1 =4,84
| A H0 szerinti feltevést 5%-os szignifikancia szinten elvetjük. Megállapítható, hogy a β 1 paraméter értéke szignifikánsan különbözik nullától, vagyis van kapcsolat a két ismérv között.

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje meg a helyes állítást!
| 1/a. A korrelációs együttható...
| Az adatok közötti kapcsolat meglétét fejezi ki.
| A két ismérv közötti kapcsolat szorosságát fejezi ki.
| 1/b. A kovariancia
| Az adatok közötti kapcsolat irányát mutatja meg
| Az adatok közötti kapcsolat szorosságát fejezi ki.
| Az adatok közötti kapcsolat szorosságának mértékét fejezi ki.
| 1/c. A regresszió
| Két ismérv közötti függőségi viszonyt fejez ki.
| Két ismérv közötti kapcsolat szorosságát fejezi ki.
| 1/d. A korrelációs együttható értéke csak
| -1 = r < 1 lehet
| -1 < r = 1 lehet.
| -1 ≤ r ≤ 1 lehet.
| 1/e. A regresszióanalízis során a kapott paraméterek értékeinek konfidencia intervallumát
| A z-eloszlás próbafüggvényével határozzuk meg
| A t-eloszlás próbafüggvényével határozzuk meg
| Az F-eloszlás próbafüggvényével határozzuk meg
| 1/f. A β 1 paraméter
| regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az x változó egységnyi változása átlagosan mekkora változást okoz az y változóban.
| regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az x változó egységnyi változása mekkora változást okoz az y változóban.
| regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az x változó egységnyi változása hányszoros változást okoz az y változóban.
| 1/g. A relatív hiba kifejezi,
| hogy a regressziós becslések értékei átlagosan mennyivel térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől.
| hogy a regressziós becslések értékei átlagosan hány százalékkal térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől.
| 1/h. A rugalmassági együttható kifejezi, hogy
| az x-magyarázóváltozó adott értékének 1%-os növekedése átlagosan milyen változást eredményez az y-változó értékében.
| az x-magyarázóváltozó adott értékének egységnyi növekedése átlagosan milyen változást eredményez az y-változó értékében.
| 1/i. Ha a reziduális négyzetösszeg egyenlő nullával,
| akkor a függő változó teljes varianciája megmagyarázható a tényezőváltozó segítségéve.
| akkor a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn.
| 2. Egy tőzsdén bejegyzett társaságokról az alábbi adatokat ismerjük:
Nettó árbevétel | Adózott eredmény
(milliárd forint)
111 | 12,4
31 | 5,2
55 | 5,5
65 | 7,6
14 | 1,6
32 | 4,3
105 | 9,0
82 | 7,8
130 | 10,5
88 | 9,8
28 | 2,0
61 | 3,7
65 | 3,5
98 | 7,6
| 2/a. Számítsa ki a regressziós függvény paramétereit, írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 4 tizedesjegy pontossággal végezze el! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| 2/b Számítsa ki korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót, a regressziós becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket A számításokat a korrelációs együttható esetében 4 tizedesjegy pontossággal, a többi értéknél 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A korrelációs együttható értéke: A determinációs együttható értéke: %
| 3. Jelölje meg a helyes választ!
| 3/c Mi a mértékegysége a lineáris korrelációs együtthatónak ( β 1 )?
| Milliárd forint
| %
| Nincs
| 3/d. Egészítse ki a mondatokat a helyes értékkel! Az a vállalat, amelynek árbevétele 1 milliárd Ft-tal több mint egy másik vállalatnak, vagy mint a vállalatok átlagos árbevétele, annak a dózott eredménye milliárd Ft-tal lesz több, mint az átlagos vállalati árbevétel. A nettó árbevétel és az adózott eredmény között szoros pozitív kapcsolatot figyelhetünk meg, a nettó árbevétel és az adózott eredmény %-ban befolyásolja egymást.
| 4. 20 vállalkozás adatai alapján vizsgálták az egy főre jutó tárgyi eszközérték (millió Ft)(x) és az egy főre jutó üzemi eredmény (millió Ft) (y) kapcsolatát. A lineárisnak feltételezett kapcsolat elemzéséből az alábbi adatokat ismerjük:
| Az egy főre jutó átlagos tárgy eszközérték: 212,1 millió Ft. Az egy főre jutó átlagos üzemi eredmény: 50,6 millió Ft. A ∑ ( x i − x ¯ ) 2 =85909,8 A ∑ ( y i − y ¯ ) 2 =2540,3 A ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ )=11330,8
| 4/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| 4/b Számítsa ki korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót! A számításokat a korrelációs együttható esetében 4 tizedesjegy pontossággal, a többi értéknél 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A korrelációs együttható értéke: A determinációs együttható értéke: %
| 4/c Vizsgálja meg az üzemi eredmény tárgyi eszközérték szerinti rugalmasságát az átlagos szinten! A számítást 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A rugalmassági együttható értéke:
| 5. Azonos gyártmányú elektromos gépek működési idejére és javításuk időszükségletére vonatkozóan az alábbi adatok állnak rendelkezésre:
Sorszám | Működési idő (év) | Javítási idő (óra)
1. | 6 | 42
2. | 2 | 22
3. | 9 | 75
4. | 12 | 96
5. | 5 | 32
6. | 3 | 25
7. | 4 | 33
8. | 6 | 38
9. | 11 | 91
10. | 8 | 61
11. | 1 | 17
12. | 7 | 51
13. | 4 | 31
14. | 3 | 35
15. | 5 | 47
16. | 9 | 65
17. | 2 | 24
18. | 6 | 44
19. | 3 | 29
20. | 11 | 88
| 5/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit 2 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 1-paraméter értéke:
| 5/b Határozza meg a regressziós függvény relatív hibáját! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A relatív hiba: %
| 5/c. Becsülje meg az 50 órás javítási időt igénylő készülék működési idejét! A számításokat 1 tizedesjegy pontossággal végezze el! Az 50 órás javítási időt igénylő készülék működési ideje: év.