KURZUS: Statisztika II.

MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése

10. lecke: Egyszerű elemzési módszerek

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja mit jelent az additív és a multiplikatív kapcsolat, tud páratlan számú mozgóátlagolással trendet számolni, tud páros számú mozgóátlagolással trendet számolni.
| Tananyag
| A jelenségek időbeli alakulásának, lefolyásának vizsgálata minden tudományágnak, így a gazdasági tudományoknak is egyik központi kérdése. A statisztikai soroknál és a viszonyszámoknál mát találkoztunk idősorokkal, hisz a dinamikus viszonyszámokat ezekből határoztuk meg. Az idősor elemzése abból indul ki, hogy az idősort tartósan érvénysülő hosszú távú tendencia (trend), tartósan ható szabályok, jól modellezhető hullámmozgás (szezonalítás) határozza meg. A statisztikai elemzés szempontjából az idősornak három összetevője van.
| alapirányzat (trend): ez a legfontosabb összetevő. A trend az idősorban hosszabb időszakon át, tartósan érvényesülő tendencia. Ez is több tényező együttes hatásának a következménye. Periodikus ingadozás: az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelent. Két típusát különböztetjük meg, a szezonális vagy idényszerű hullámzást, és a konjukturális ingadozást. A szezonális hullámzás a trendtől való abszolút vagy relatív mértékű eltérés-periodicitást mutat. véletlenszerű ingadozás: ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük.
| Az idősorok elemzésének alapvető feladata a komponensek elkülönítése. Az egyes komponensek között lehet additív (összegszerű) és multiplikatív (szorzatszerű), vagy ennél bonyolultabb kapcsolat.
| Additív kapcsolat: a komponensek összege adja az idősort.
| y i j = y ∧ i j + s ∧ j + v ∧ i j sj: szezonális ingadozás
| A szezonális eltérés a periódusok különböző szakaszában más és más mértékű és irányú lehet. A véletlen komponens (vij) valószínűségi változó, additív kapcsolat esetén feltételezzük, hogy a várható értéke nullával egyenlő.
| Multiplikatív kapcsolat: a komponensek szorzata adja az idősort.
| y i j = y ∧ i j * s ∧ j * * v ∧ i j *
| A szezonális komponens relatív módon fejezi ki a hatását, ez a szezonális ingadozás (s*j).
| A trendszámítás során az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus ingadozás és a véletlen ingadozás hatását kiszűrjük. Ez többféle módon történhet, pl.: átlagolással, mozgóátlagolással, vagy analitikus trendszámítással.
| 10.1. Egyszerű elemzési módszerek
| Átlagolás
| A flow (tartam) jellegű idősor adatait egyszerű számtani átlaggal számoljuk ki.
| y _ = Σ y i n
| A stock (állapot) jellegű idősor adatainál a számtani átlag nem használható, ekkor a kronológikus átlagot használjuk:
| y _ = y 1 n + y 2 +....+ y n 2 n−1
| Átlagos változás mutatói:
| a változás átlagos mértéke: Az időegységre jutó átlagos változást adja meg. d _ = y n − y 1 n−1 . a változás átlagos üteme: Ez viszonyszámként adja meg a változás ütemét, fejlődést tükröz: l _ = Π l n−1 = y n y 1 n−1
| 10.2. Mozgóátlagolásos trendszámítás
| Általában akkor alkalmazzuk, ha nincs kellő ismeretünk a vizsgálandó folyamatról. Ez egy egyszerű idősor-elemző módszer. A mozgóátlagolásos trendszámítás során a trendet az idősor dinamikus átlagolásával határozzuk meg úgy, hogy az idősor minden eleméhez kiszámítjuk annak környezetében lévő elemek átlagát. Az átlagolással kiküszöböljük a szezonális komponenst és csökkentjük a véletlen tényező hatását.
| A mozgóátlagolásnál először az átlagolás tagszámát kell meghatározni. Az időszak mindig k-nyi elemét adjuk összes és ebből a k-val való osztás során kapunk egy átlagot. Fontos, hogy 'n' egy egész periódust fogjon át. Egy periódus azt az időszakot jelenti, amely alatt ugyanaz a szezonhatás nem ismétlődik.
| Ha a szezonális komponens periódusának hossza páratlan, akkor a 'n' is páratlan lesz (n=2k+1), így a páratlan tagszámú mozgóátlagolással kiszámított trendet az alábbi képlettel kapjuk meg:
| y ∧ i = y i−k + y i−k+1 +...+ y i +...+ y i+k 2 k+1
| Például egy 3-tagú mozgóátlagolás a következő:
Időszak | idősor adatai | mozgó összeg (Öi) | Mozgóátlag y ∧ i
1 | y1 | - | -
2 | y2 | Ö2=y1+y2+y3 | Ö2/3
3 | y3 | Ö3=y2+y3+y4 | Ö3/3
4 | y4 | Ö4=y3+y4+y5 | Ö4/3
. | . | . | .
. | . | . | .
n-2 | yn-2 | Ön-2=yn-3+yn-2+yn-1 | Ön-2/3
n-1 | yn-1 | Ön-1=yn-2+yn-1+yn | Ön-1/3
n | yn | - | -
| Ha a szezonális komponens periódusának hossza páros, akkor a mozgóátlagolással nem kapunk azonnal trendértéket, mivel a kiszámított átlag nem esik időponthoz. Ekkor az úgynevezett centírozásra van szükség, amely kéttagú mozgóátlagolást jelent, és így már időponthoz tudjuk rendelni az értékeket.
| Pl.: negyedéves adatok, akkor páros számú mozgóátlagolást végzünk.
Időszak | Idősor adatai | mozgó összeg (Öi) | Mozgóátlag | Centrírozás y ∧ i
1 | y1 | - |  | -
2 | y2 | Ö2,5=y1+y2+y3+y4 | Ö2,5/4 | -
3 | y3 | Ö3,5=y2+y3+y4+y5 | Ö3,5/4 | Ö2,5+Ö3,5/2
4 | y4 | Ö4,5=y3+y4+y5+y6 | Ö4,5/4 | Ö3,5+Ö4,5/2
. | . | . | . |
. | . | . | . |
n-2 | yn-2 | Ön-2,5=yn-4+yn-3+yn-2+ yn-1 | Ön-2,5/4 | Ön-2,5+Ön-1,5/2
n-1 | yn-1 | Ön-1,5=yn-3+yn-2+yn-1+ yn | Ön-1,5/4 | -
n | yn | - | - | -
| A mozgóátlagolással kiegyenlített idősor rövidebb, mint az eredeti idősor.
| A módszer előnye, hogy egyszerű és gyors. Hátránya, hogy rövidebb lesz a kiegyenlített idősor, és nem kapunk analitikusan ismert trendfüggvényt, illetve nem tudunk előrejelzést végezni.

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje meg a helyes állítást!
| 1/a. Idősor elemzés esetén akkor van szó additív modellről, ha...
| az idősor komponensei szorzatszerűen kapcsolódnak egymáshoz.
| az idősor komponensei összegszerűen kapcsolódnak egymáshoz.
| 1/b. Ha az idősor adatát a három komponens szorzata adja, akkor...
| multiplikatív kapcsolatról beszélünk.
| additív kapcsolatról beszélünk
| Egy hosszabb idősor utolsó néhány eleme:
| 100, 110, 112, 118, 120, 121, 124, 125
| 2/a. Állapítsa meg a két utolsó négytagú mozgóátlag értékét és válassza ki a helyes eredményt!
| 121,7 ; 123,0
| 120,75 ; 122,5
| 119,25 ; 121,625
| 119,3 ; 116,8
| 2/b. Állapítsa meg a még meghatározható két utolsó trendértékét és válassza ki a helyes eredményt!
| 119,3 ; 121,6
| 119,3 ; 116,8
| 119,25 ; 121,625
| 120,75; 122,5
| 3. A kereskedelmi szálláshelyek forgalmára jellemző adatok egy városban
Év, idény | Vendégek száma (ezer fő)
2003 | Előszezon | 500
Főszezon | 700
Utószezon | 400
2004 | Előszezon | 520
Főszezon | 750
Utószezon | 410
2005 | Előszezon | 560
Főszezon | 800
Utószezon | 400
2006 | Előszezon | 600
Főszezon | 840
Utószezon | 450
| 3/a. Mozgóátlagolással számítsa ki a trendértéket és írja be az üres cellákba! Ahova nem kerül szám, tegyen "-" jelet! A számítások végeredményét kerekítse egészszámra!
Év, idény | Vendégek száma (ezer fő) | Trendérték
2003 | Előszezon | 500 |
Főszezon | 700 |
Utószezon | 400 |
2004 | Előszezon | 520 |
Főszezon | 750 |
Utószezon | 410 |
2005 | Előszezon | 560 |
Főszezon | 800 |
Utószezon | 400 |
2006 | Előszezon | 600 |
Főszezon | 840 |
Utószezon | 450 |
| 4. Egy építőanyagokat forgalmazó vállalkozás által értékesített csempe mennyiségének alakulása (millió db)
Év | Negyedév
I. | II. | III. | IV.
2004 | 40 | 54 | 66 | 52
2005 | 38 | 58 | 70 | 54
2006 | 44 | 60 | 70 | 60
| 4/a. Határozza meg az áruforgalom alapirányzatát mozgóátlagolással! A kiszámított értékeket írja be az üres cellákba! Ahova nem kerül szám, tegyen "-" jelet! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg!
Év | A trendszerinti értékesítés negyedéves adatai (millió db)
I. | II. | III. | IV.
2004 |  |  |  |
2005 |  |  |  |
2006 |  |  |  |