KURZUS: Statisztika II.

MODUL: I. modul: Becslés

3. lecke: Becslés rétegezett mintavétel setén

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| a felsorolásból ki tudja választani a rétegezett mintavétel jellemzőit ki tudja választani a felsorolásból a rétegezett mintavétel típusait adott minta alapján el tudja dönteni, hogy milyen típusú a rétegezett mintavétel az adatok alapján ki tudja számolni a konfidencia intervallumot
| Tananyag
| A rétegezett mintavétel lényege az, hogy ha a sokaság heterogén, és van ismeretünk arra vonatkozóan, hogy hogyan lehet többé-kevésbé homogén részekre bontani, akkor ezeket, a homogén részsokaságokat tekintjük rétegeknek, a mintavételt és a becslést rétegenként hajtjuk végre. Ezt követően a kapott eredményeket átlagolva jutunk el a fősokaságra vonatkozó becsléshez.
| Egy N-elemű sokaságot M-rétegre bontunk. Minden rétegből mintát veszünk.
| A sokasági főátlag becslésére a rétegminta-átlagok sokasági rétegsúlyokkal súlyozott átlagát használjuk. Mivel a rétegsúlyokat ismertnek tekintjük, és a rétegátlagok torzítatlanul becsülik a megfelelő sokasági rétegátlagokat, a főátlag becslése is torzítatlan lesz.
| 3.1. Becslés nem arányos elosztás esetén
| Nem arányos elosztás esetén a minta átlagát az alapsokasági adatokból számítjuk ki.
| X − = Σ N i * x i − Σ N i
| A konfidencia intervallum meghatározásához szükségünk van a becslőfüggvény standard hibájára, de a könnyebb számolás miatt először annak négyzetét számoljuk ki:
| σ x ¯ (R) 2 =∑ ( N i N ) 2 * σ i 2 n i *( 1- n i N i ) σ x ¯ (R) = σ x ¯ (R) 2
| Ahol: N: az alapsokaság elemszáma Ni: az adott réteg elemszáma a sokaságban ni: az adott réteg elemszáma a mintában σ i 2 : az adott réteg szórásnégyzete
| A becsléshez a z-próbafüggvényt alkalmazzuk:
| Δ= z p * σ x ¯ (R) n
| A konfidencia intervallum pedig:
| ( x − R ±Δ)
| Ha a sokaság rétegszórását nem ismerjük, akkor a mintákból kell kiszámítani:
| s x − ( R ) 2 =Σ ( N i N ) 2 * s i 2 n i *( 1− n i N i ) s x − ( R ) = s x − ( R ) 2 ( x − R ± z p * s x − ( R ) ) az intervallum
| Nagy elemszámú minta esetén a z-, és t-próba értékei megegyeznek, és a rétegezett mintavétel esetén nagy mintával dolgozunk.
| Ha az alapsokaság elemszáma a mintához képest nagyon nagy, pl egy nagyvárosban megkérdezünk 200 főt, akkor az ( 1− n i N i ) -vel nem számolunk, azt elhagyjuk a képletből.
| 3.2. Becslés arányos elosztás esetén
| Az egyes rétegek aránya megegyezik, azaz:
| N i N = n i n X ¯ A R =Σ N i N * x ¯ i = Σ N i * x i N X ¯ A R =Σ n i n * x ¯ i = Σ n i * x i n
| Azaz a becslőfüggvény a rétegátlagoknak a mintabeli rétegarányokkal súlyozott számtani átlaga. Szükségünk van a belső szórásnégyzetre, ugyanis a kombinált becslés szórása csak a rétegeken belüli szóródásoktól függ, és független a rétegek közötti (külső) szóródástól.
| σ b 2 = Σ n i * σ i 2 Σ n i ; s b 2 = Σ( n i −1)* s i 2 Σ n i σ x − 2 = σ b 2 n *(1− n N ); s x − 2 = s b 2 n *(1− n N )
| Az intervallum pedig:
| ( x − ± z p * s x − )...v a g y...( x − ± z p * σ x − )
| 3.3. Értékösszegsor becslés
| Rétegezett mintavétel esetén az értékösszegsor becslésekor a kiszámított sokaság várható értékére adott konfidencia intervalluma határait meg kell szorozni a sokaság elemszámával.
| N*( x − ± z p * s x − )...v a g y...N*( x − ± z p * σ x − )

|  | Bemutató feladat
| 1. Egy gazdaságban 2000 almafa össztermését kívánják megbecsülni. Két almafajta terméséből vettek rétegezett mintát
Fajta | Fák száma (db) | mintaelemek
Összesen | minta | átlaga (kg/fa) | szórása (kg/fa)
A | 1500 | 250 | 107 | 25
B | 500 | 150 | 100 | 18
Összesen | 2000 | 400 | - | -
| A becslést 95%-os megbízhatósági intervallumban szeretnék megkapni. A rétegezés aránya az 'A' fajta esetén: 1500/2000=0,75 a sokaságban250/400=0,625 a mintában, azaz nem arányos az elosztás
| Az átlag: x − R = 1500*107+500*100 2000 =105,25
| s x ¯ ( R ) 2 =Σ ( N i N ) 2 * s i 2 n i *( 1− n i N i )= ( 1500 2000 ) 2 * 25 2 250 *( 1− 250 1500 )+ + ( 500 2000 ) 2 * 18 2 150 *( 1− 150 500 )=1,1719+0,0945=1,2664 s x ¯ ( R ) = s x ¯ ( R ) 2 = 1,2664 =1,1253 z 0,975 =1,96 Δ= z p * s x ¯ ( R ) =1,96*1,1253=2,21
| 105,25±2,21
| Egy almafa átlagos termése103,04 kg és 107,46. kg között várható. Az egész gazdaságra vonatkozóan értékösszegsort kell becsülni: 2000*(105,25 ±2,21)kg. A gazdaságban 206,08 t és 214,92 t közötti mennyiség várható almából.
| 2. Egy gazdaságban 2000 almafa össztermését kívánják megbecsülni. Két almafajta terméséből vettek rétegezett mintát
Fajta | Fák száma (db) | mintaelemek
Összesen | minta | átlaga (kg/fa) | szórása (kg/fa)
A | 1500 | 150 | 107 | 25
B | 500 | 50 | 100 | 18
Összesen | 2000 | 200 |  |
| A becslést 95%-os megbízhatósági intervallumban szeretnék megkapni. A rétegezés aránya a sokaságban és a mintában az 'A' fajta: 1500/2000=150/200=0,75
| Az átlag: x − R = 150*107+50*100 200 =105,25
| A kiválasztási arány: n N = n A N A = n B N B =0,1
| A belső szórásnégyzet: s B 2 = 149* 25 2 +49* 18 2 200 =545,005
| Az átlag hibanégyzete: s x − R 2 = 545,005 200 *0,9=2,4525
| A standard hiba: s x − R = 2,2425 =1,5660
| α=0,05 1− α 2 =0,975 z0,975=1,96
| Δ=1,5660*1,96=3,069
| (105,25 ±3,069)
| 102,18 kg és 108,32 kg között várható az átlagtermés gyümölcsfánként.
| Értékösszeg becslésekor a várható érték konfidencia határait kell megszorozni N-nel.
| A példánkban így a teljes termés 204,36 t és 216,64 t között várható

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje be a helyes állítást!
| 1/a
| Rétegezett mintavétel esetén a sokaságot rétegekre bontjuk, és egy réteg lesz a minta.
| Rétegezett mintavétel esetén a sokaságot rétegekre bontjuk, és az egyes rétegekből egyszerű véletlen mintavétellel választjuk ki a mintát.
| 1/b
| A sokasági átlag becslésére a réteg-mintaátlagok sokasági rétegsúlyával súlyozott átlagot használjuk.
| A sokasági átlag becslésére a réteg-mintaátlagok összegét használjuk.
| 1/c
| Nem arányos elosztás esetén a sokasági átlag a minta elemszámának súlyozásával állapítható meg.
| Nem arányos elosztás esetén a sokasági átlag a sokaság elemszámának súlyozásával állapítható meg.
| Nem arányos elosztás esetén a sokasági átlag a minta elemszámának vagy a sokaság elemszámának súlyozásával állapítható meg.
| 2. A házimunkára fordított időt vizsgálva egy 80.000 lakosú lakótelepen, ahol a lakosok közül 36.000 a férfi, 1000 elemű mintát vettek. Az alábbi adatok ismertek:
Nem | A lakosok száma a mintában | A házimunkával töltött idő (óra)
Átlag | szórás
A mintában
Férfi | 450 | 0,6 | 1,5
Nő | 550 | 4,0 | 1,2
Összesen: | 1000 | - | -
| 2/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A férfiak aránya a sokaságban: A férfiak aránya a mintában: Az átlagos házimunkával töltött idő: óra
| 2/b Határozza meg a házi munkával töltött napi átlagos időt a felnőtt lakosság egészére 95%-os megbízhatósági szinten. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat a standard hiba esetén 3 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A standard hiba: A becsléshez szükséges táblázatbeli érték: Az intervallum alsó határa: óra Az intervallum felső határa: óra
| 3. Postai levélforgalmat vizsgálva 3 (A, B, C) rétegbe osztották forgalom szerint a hivatalokat és mindegyik rétegből mintát vettek az alábbiak szerint:
Megn. | Sokaság (db) | Minta (db) | A minta (edb)
Átlag | szórás
A | 80 | 38 | 101 | 54
B | 420 | 26 | 12 | 6
C | 2690 | 32 | 1,5 | 0,8
Összesen | 3190 | 96 | - | -
| 3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 3 tizedesjegy pontossággal végezze el! Az 'A' részsokaság aránya az alapsokaságban: Az 'A' részsokaság aránya a mintában: Az átlagos postai forgalom: ezer db
| 3/b Határozza meg az átlagos levélforgalmat 95%-os megbízhatósági szinten. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat a táblázatbeli érték esetén 2 tizedesjegy a többi esetben 3 tizedesjegy pontossággal végezze el! A standard hiba: A becsléshez szükséges táblázatbeli érték: Az intervallum alsó határa: ezer db Az intervallum felső határa: ezer db
| 3/c. Mennyi a posták összes levélforgalma 95%-os megbízhatósági szinten? A végeredményt kerekítse egész számra! A posták összes levélforgalma és ezer db.