KURZUS: Statisztika II.

MODUL: II. modul: Hipotézisvizsgálat

6. lecke: Két- és több mintás statisztikai próbák

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| a felsorolásból ki tudja választani, hogy mikor milyen próbát alkalmazunk (z-próba, F-próba, χ 2 -próba, varianciaanalízis), önállóan ki tudja számolni a próbafüggvények értékeit (z-próba, F-próba, χ 2 -próba), a számítások alapján el tudja dönteni, melyik hipotézist fogadjuk el, ki tudja választani a hipotézisek elfogadásának helyes magyarázatát.
| Tananyag
| Gyakran előfordul, hogy két sokaságot akarunk vizsgálni, és a hipotézis két paraméter értékének egymáshoz való viszonyára vonatkozik. Ilyenkor kétmintás próbát hajtunk végre, azaz a sokaságokból 1-1 független, véletlen mintát veszünk a hipotézis ellenőrzése céljából. Az egymással összehasonlításra kerülő sokaságok időben, térben vagy bármilyen más tekintetben különbözhetnek egymástól.
| 6.1. Várható értékek különbözőségére irányuló próbák
| Két sokaságból külön-külön és egymástól függetlenül vett minta alapján ellenőrizni kívánjuk a H 0 : μ 1 = μ 2 vagy konkrét minta esetén a H 0 : x 1 = x 2 hipotézis helyességét.
| 6.1.1. Kétmintás z-próba
| Ha a két sokaság normális eloszlású, és ismert mindkét sokaság szórása, akkor a z-próbafüggvényt alkalmazzuk:
| z= x ¯ 1 − x − 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2
| A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1: μ 1 < μ 2 (x1<x2) | [ z α ;∞ [
H1: μ 1 ≠ μ 2 (x1 ≠x2) | [ z α/2 ; z 1−α/2 ]
H1: μ 1 > μ 2 (x1>x2) | ] − ∞ ˙ ; z 1−α ]
| 6.1.2. Kétmintás t-próba
| Ha a két normális eloszlású sokaság szórását nem ismerjük, és feltételezzük, hogy szórásuk lényegesen nem különbözik, ilyenkor t-próbát alkalmazunk:
| t 0 = x 1 − x − 2 − s d 1 n 1 + 1 n 2
| s d = ( n 1 −1)* s 1 2 +( n 2 −1)* s 2 2 n 1 + n 2 −2 (közös szórás)
| A szabadságfok szf=n1+n2-2
| A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás t-próba elfogadási tartományával.

|  | Bemutató feladat
| Egy üzemben a szerelési műveleteket két eltérő módon tanították be. A két csoportból mintát vettek, és feljegyezték a dolgozók teljesítményét. A kérdés, hogy 5%-os valószínűségi szinten van-e különbség a két szerelési mód között?
| n1=16, x ¯ 1 =128 s1=18
| n2=11, x ¯ 2 =112 s2=29
| H0:x1 ≥ x2,
| H1:x1 < x2,
| s d = (16−1)* 18 2 +(11−1)* 29 2 16+11−2 =23,04
| t 0 = 128−112 23,04 1 16 + 1 11 =1,773
| Szf=25 t0,05(25)= -1,71, az elfogadási tartomány:
| [ t α s z f ;∞ [ , azaz [ −1,71;∞ [
| Mivel a számított t-érték beleesik az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz az első betanítási módszer nem jobb, mint a második.

|  | 6.2. Két sokasági szórás egyezőségére irányuló próba
| Ha a két sokaság normális eloszlású, a szórások egyezőségének vizsgálatára az F-próbafüggvény alkalmazható, ezért F-próbának nevezzük.
| H0: σ 1 = σ 2 ,
| a szabadságfokok az alábbiak: szf1=n1-1; szf2=n2-1.
| F= σ 1 2 σ 2 2 vagy F= s 1 2 s 2 2
| Az F-eloszlás nem szimmetrikus, elfogadási tartománya a következő:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1: σ 1 < σ 2 | [ F s z f 2 ( α ) s z f 1 ;∞ [
H1: σ 1 ≠ σ 2 | [ F s z f 2 ( α/2 ) s z f 1 ; F s z f 2 ( 1−α/2 ) s z f 1 ]
H1: σ 1 > σ 2 | ] 0; F s z f 2 ( 1−α ) s z f 1 ]
| F S z f 1 ( α ) S z f 2 = 1 F S z f 1 ( 1−α ) S z f 2

|  | Bemutató feladat
| Az előző példa folytatása. Ellenőrizzük 10%-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a munkások teljesítményének szórása megegyezik.
| H0: σ 1 = σ 2 , H1: σ 1 ≠ σ 2
| F= 18 2 29 2 =0,3853
| szf1=15; szf2=10
| [ F 10( 0,05 ) 15 =0,351; F 10( 0,95 ) 15 =2,85 ]
| A számított érték belesik az elfogadási tartományba, így a nullhípotézist elfogadjuk, azaz a teljesítmények szórása között nincs szignifikáns különbség.

|  | 6.3. Két sokasági arányra vonatkozó próba
| Két sokaság aránya p1 és p2. Ellenőrizni kívánjuk, hogy a két sokaság aránya egyezik-e. A vizsgálathoz a kétmintás z-próbát alkalmazzuk.
| H0:p1=p2 H1:p1 ≠p2
| z 0 = p 1 − p 2 p 1 *(1− p 1 ) n 1 + p 2 *(1− p 2 ) n 2
| A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával:

|  | Bemutató feladat
| Közvélemény kutatást végeznek két alkalommal, egy hónapos eltéréssel 1000 ember megkérdezésével. Az első esetben 32% volt az igenlő válaszadó, a második esetben 38%. Vizsgáljuk meg 5%-os valószínűségi szinten, hogy nőtt-e az igent válaszolók aránya.
| n1=n2=1000, p1=0,32 p2=0,38
| H0:p1=p2 H1:p1<p2
| z 0 = 0,32−0,38 0,32*(1−0,32) 1000 + 0,38*(1−0,38) 1000 −2,82
| Az elfogadási tartomány:(-1,64; ∞). A számított érték nem esik bele az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elutasítjuk, és az alternatív hipotézist fogadjuk el, tehát 5%-os szignifikancia szinten nem egyezik meg az igenlő válaszadók aránya a lakosság körében.

|  | 6.4. Két eloszlás egyezőségének a vizsgálata
| Két eloszlás egyezőségének a vizsgálatát homogenitás vizsgálatnak is nevezzük.
| Feltételezzük, hogy valamely változó két sokaságon belüli eloszlása azonos. Erre a χ 2 -eloszlású próbafüggvényt alkalmazzuk. A két minta elemszáma n1 és n2, akkor χ 2 értéke:
| χ 2 = n 1 * n 2 * ∑ 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2 n 1 i n 1 = g i ...........r e l a t í v g y a k o r i s á g

|  | Bemutató feladat
| A virágárakat vizsgálva a pesti és budai virágüzletekben arra keresték a választ, hogy a virágárak eloszlása azonos-e a két helyen 99%-os konfidenciaszinten.
Ár | Buda | Pest | számítások
árusok száma (db) | n1i+n2i | g1i | g2i | 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2
0-55 | 3 | 5 | 8 | 0,0400 | 0,0595 | 0,000048
56-65 | 22 | 6 | 28 | 0,2933 | 0,0714 | 0,001759
66-75 | 18 | 18 | 36 | 0,2400 | 0,2143 | 0,000018
76-85 | 18 | 21 | 39 | 0,2400 | 0,2500 | 0,000003
86-95 | 6 | 18 | 24 | 0,0800 | 0,2143 | 0,000752
96-105 | 6 | 10 | 16 | 0,0800 | 0,1190 | 0,000095
105- | 2 | 6 | 8 | 0,0267 | 0,0714 | 0,000250
összesen. | 75 | 84 | 159 | 1 | 1 | 0,002877
| χ 2 = n 1 * n 2 * ∑ 1 n 1 i + n 2 i * ( n 1 i n 1 − n 2 i n 2 ) 2 =75*84*0,002877=18,125
| szf=7-1=6 α 2 =0,005 1− α 2 =0,995
| ca=0,68 cf=18,5
| Tehát az elfogadási tartomány: (0.676; 18,5). A számított érték beleesik az elfogadási tartományba, azaz a virágárak eloszlása azonos a két helyen.

|  | 6.5. Varianciaanalízis
| Varianciaanalízissel kettőnél több sokaság várható értékének egyezősége tesztelhető.
| A varianciaanalízis annak a nullhipotézisnek az ellenőrzésére szolgál, hogy kettőnél több, azonos szórású normális eloszlású valószínűségi változónak azonos-e a várható értéke.
| H0: μ 1 = μ 2 =..= μ n = μ
| A varianciaanalízis abból indul ki, hogy minden megfigyelés 3 komponens összege:
| a várható érték: μ, egy a j-edik sokaságra jellemző β i konstans, és egy véletlen összetevő (hibaváltozó): ε i j .
| A H0 helyességét próbafüggvénnyel vizsgáljuk, és ez az F-próbafüggvény.
| F= s k 2 s b 2 = S S K/(M−1) S S B/(n−M) = M S k M S H = M Q k M Q H
| SSK: a csoportok közötti eltérés négyzetösszege (külső szórás négyzete) M: a csoportok száma SSB: a csoportokon belüli eltérés négyzetösszege. (belső szórás négyzete) Ezen kívül ki kell számolni az összes adat szórásnégyzetét is. SST=SSK+SSB (teljes szórás négyzete)
| A varianciatáblázat a következő lesz:
A szóródás oka | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ) | F
Külső (kezelés) | SSK | M-1 | sk2 | sk2/ sb2
Belső (hiba) | SSB | n-M | sb2 |
Teljes | SST | n-1 |  |
| Az F-próba jobboldali próba. Ha a tapasztalati F-érték (számított) nagyobb az elméleti F-értéknél (táblázatbeli), akkor a várható értékek egyezőségére vonatkozó nullhipotézist az adott szignifikanciaszint mellet elvetjük, és az alternatív hipotézist fogadjuk el.

|  | Bemutató feladat
| Egy kis élelmiszerbolt tulajdonosa feltételezte, hogy a hétfői és szombati napokon nem ugyanannyi a sajt forgalma, mint a hét többi napján. Azért, hogy a sajtrendelésit jobban le tudja adni, feljegyezte a forgalmat az adott napokon:
Napok | Megfigyelt napok száma | Eladott mennyiség (kg) | Átlag | Variancia
Hétfő | 6 | 30,40,54,34,44,50 | 42 | 84,8
egyéb | 10 | 49,43,30,59,35,46, 42,35,36,43 | 41,8 | 70,4
szombat | 6 | 52,58,57,70,54,54 | 57,50 | 42,3
Össz. | 22 |  | 46,136 | 111,17
| Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a sajtforgalom azonos a megfigyelt napokon.
| SST=21*111,17=2334,57 SSB=5*84,8+9*70,4+5*42,3=1269,1 SSK=2334,57-1269,1=1065,47
| sk2=SSK/(M-1)= 1065,47/2=532,735 sb2=SSB/(n-M)= 1269,1/19=66,795 F=532,735/66,795=7,976
| A sajtforgalom variancianalízis táblázata
A szóródás oka | SS (SQ) | DF(FG) | MS(MQ) | F
Milyen nap | 1065,47 | 2 | 532,735 | 7,976
Hiba | 1269,1 | 19 | 66,795 |
Teljes | 2319,87 | 21 |  |
| Mivel F0,95(2;19)=3,52, a várható értékek egyezését állító nullhipotézis elvethető. A hét vizsgált napjain 5%-os szignifikancia szinten nem egyforma a sajtforgalom átlagos nagysága.

|  | Önellenőrző kérdések
| Jelölje meg a helyes választ!
| 1/a. Több várható érték egyezőségének vizsgálatát
| z-próba segítségével ellenőrizzük.
| χ 2 -próba segítségével ellenőrizzük.
| varianciaanalízis segítségével ellenőrizzük.
| 1/b. Két sokaság várható értékének egyezőségét
| z-próba segítségével ellenőrizzük.
| χ 2 -próba segítségével ellenőrizzük.
| varianciaanalízis segítségével ellenőrizzük.
| F-próba segítségével ellenőrizzük.
| 1/c. Két eloszlás egyezőségét
| z-próba segítségével ellenőrizzük.
| χ 2 -próba segítségével ellenőrizzük.
| varianciaanalízis segítségével ellenőrizzük.
| F-próba segítségével ellenőrizzük.
| 1/d. Két sokaság szórásának azonosságát
| z-próba segítségével ellenőrizzük.
| varianciaanalízis segítségével ellenőrizzük.
| F-próba segítségével ellenőrizzük.
| χ 2 -próba segítségével ellenőrizzük.
| 2. Egy automata töltőgép az egyik fajta szárazsüteményt dobozokba tölti. A dobozok töltési tömegének szórása 8 gramm. A töltési tömeg normális eloszlású. Két egymást követő napon 40-40 dobozt vizsgáltak meg. A mintában az átlagos töltési tömegek:
1. | nap: 595,5 gramm.
2. | nap: 603,7 gramm
| Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két napon töltött dobozok átlagos töltési tömege között 5%-os szignifikancia szinten!
| 2/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 2/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0
| 2/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A két napon töltött dobozok átlagos töltési tömege között szignifikáns különbség van.
| A két napon töltött dobozok átlagos töltési tömege között 5%-os szignifikancia szinten nincs különbség.
| 3. Egy konzervgyár két azonos kapacitású üzemében egy héten keresztül mérték az uborka-feldolgozás során elfogyasztott víz mennyiségét. A mérési eredményeket a következő táblázat tartalmazza (vízmennyiség m3).
Nap | A-üzem | B-üzem
1. | 8,5 | 15
2. | 6,8 | 10
3. | 4,2 | 11
4. | 12,2 | 11
5. | 9,1 | 14
6. | 6,0 | 13
7. | 8,0 | 2
| Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két üzem átlagos vízfelhasználása között 5%-os szignifikancia szinten!
| 3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 3/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 3/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A két üzem átlagos vízfogyasztása között nincs szignifikáns különbség.
| A két üzem átlagos vízfogyasztása között 5%-os szignifikancia szinten különbség van.
| 4. Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két üzem átlagos vízfelhasználásának ingadozása között 10%-os szignifikancia szinten!
| 4/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 4/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 4/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A két üzem átlagos vízfogyasztásának szórása között nincs szignifikáns különbség.
| A két üzem átlagos vízfogyasztásának szórása között 5%-os szignifikancia szinten különbség van.
| 5. A személysérüléssel járó közúti közlekedési balesetekre vonatkoznak az alábbi, mintavételből származó adatok:
A baleset ideje a nap órái szerint | Balesetek száma
Budapest | Az ország többi részén
0-8 | 54 | 138
8-12 | 80 | 199
12-15 | 39 | 187
15-18 | 63 | 223
18-24 | 45 | 196
Összesen | 281 | 943
| 5/a. Azonos-e a balesetek számának eloszlása a két helyen 5%-os szignifikancia szinten? Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 5/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 6. Egy cég négy különböző típusú autógumi kopásállóságát vizsgáltatta meg. Az 5-5 elemű mintákban a futófelület kopása alapján meghatározott élettartamok ezer km-ben kifejezve az alábbiak voltak:
Típus | Kopásállóság | Átlag
A | 53 | 61 | 58 | 56 | 57 | 57
B | 51 | 60 | 64 | 67 | 58 | 60
C | 46 | 50 | 57 | 50 | 47 | 50
D | 50 | 59 | 53 | 56 | 47 | 53
| 6/a. Varianciaanalízissel ellenőrizze, hogy az egyes gumiabroncsok kopásállósága 5%-os szignifikancia szinten azonosnak tekinthető-e! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 1 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: A próbafüggvény táblabeli értéke:
| 6/b Válassza ki a helye megfogalmazást!
| Az abroncsok kopásállósága 5%-ois szignifikancia szinten nem tekinthető azonosnak.
| Az abroncsok kopásállósága között 5%-os szignifikancia szinten nincs különbség.
| 7. Két gimnázium tanulóinak nyelvtudását hasonlították össze. Mindkét gimnáziumból 1000 főt kérdeztek meg. Az egyik gimnáziumban (I.) a tanulók 27%-ka beszélt valamilyen idegen nyelvet, a másik gimnáziumban (II.) pedig 34%-kuk.
| Ellenőrizze azt a feltevést, hogy a második gimnáziumban nagyobb az idegen nyelvet beszélők aránya, mint az első gimnáziumban ( α=0,05)!
| 7/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa:
| 7/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0