KURZUS: Statisztika II.

MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése

11. lecke: Analitikus trendszámítás

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja, hogy mit jelent a trendszámítás, ki tudja választani a lineáris és az exponenciális trend jellemzőjét, tudja a lineáris és az exponenciális trend paramétereinek jelentését, tudja milyen esetekben végezhetünk extrapolációt, az adatok alapján meg tudja határozni a lineáris és az exponenciális trendfüggvény paramétereit, el tudja dönteni, hogy milyen függvény írja le jobban az adatokat.
| Tananyag
| Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, akkor analitikus trendszámításról beszélünk. Az analitikus trendszámítás tehát a regresszió-számítás egy speciális esete, amennyiben az idősorban bekövetkezett változásokat az időtényező (t) függvényében vizsgáljuk.
| Hasonlóan a regresszió-számításhoz, a trendszámításnál is először ábrázolni kell az adatokat, és kiválasztani a függvény típusát.
| 11.1. Lineáris trend
| Ha az adatokra az egyenletes változás jellemző, akkor lineáris trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit.
| y ∧ = β ∧ 0 + β ∧ 1 *t
| Hasonlóan a regresszió-számításhoz, itt is a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk, a normálegyenletek a következők:
| ∑ y i =n* β ∧ 0 + β ∧ 1 * ∑ t i ∑ t i * y i = β ∧ 0 * ∑ t i + β ∧ 1 * ∑ t i 2
| A megoldáshoz kódolnunk kell az idősor adatait. Ez többféleképpen lehetségesféleképpen történhet:
| Ha az idősort t=1,2,3,...n kódoljuk:
év | ti
1999 | 1
2000 | 2
2001 | 3
2002 | 4
2003 | 5
2004 | 6
2005 | 7
2006 | 8
| A normálegyenleteket átalakítva megkapjuk a trendfüggvény együtthatóit:
| β 1 = ∑ t i * y i − ( ∑ t i )*( ∑ y i ) n ∑ t i 2 − ( ∑ t i ) 2 n
| β 0 = y ¯ − β 1 * ∑ t i n
| Ha az idősort Σt=0 módon kódoljuk, akkor különbség van a páros és páratlan számú idősor esetében. Páratlan tagszámú időssor:
év | t
1999 | -3
2000 | -2
2001 | -1
2002 | 0
2003 | 1
2004 | 2
2005 | 3
| Páros tagszámú idősor esetén:
év | t | t
1999 | -3,5 | -7
2000 | -2,5 | -5
2001 | -1,5 | -3
2002 | -0,5 | -1
2003 | 0,5 | 1
2004 | 1,5 | 3
2005 | 2,5 | 5
2006 | 3,5 | 7
| Ebben az esetben a normálegyenletek egyszerűbbek, és a trendfüggvény együtthatóit az alábbi képletekkel kapjuk meg:
| ∑ y i =n* β ∧ 0 ∑ t i *y = β ∧ 1 * ∑ t i 2 β ∧ 0 = ∑ y i n = y ¯ β ∧ 1 = ∑ t i * y i ∑ t i 2
| A β ∧ 1 paraméter az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke, előjelétől függően növekedést vagy csökkenést jelez.
| Ha Σt=0, és az időpontok száma páros, akkor 2* β ∧ 1 1 az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke.
| A β ∧ 1 paraméter az alapirányzat értéke a t=0 időpontban:
| ha t=1, ...n, akkor a vizsgálatba bevont időpontot megelőző időpont trend szerinti értéke. Ha Σt=0, és páratlan az idősornál választott tagszám, akkor a középső időpont alapirányzata és egyben a vizsgált idősor adatainak számtani átlaga. Ha Σt=0, és páros az idősornál választott tagszám, és nincs t=0, akkor az idősor adatainak számtani átlaga.
| Ezután a regresszió számításhoz hasonlóan, kiszámoljuk a reziduális szórásnégyzetet.
| s e 2 = ∑ ( y i − y ∧ i ) 2 n ,
| és a reziduális szórás mutatószámát:
| V e = s e y _ *100
| Ez a valós értékektől való átlagos eltérését mutatja a trendértékeknek.

|  | Bemutató feladat
| A villamosenergia-termelés Magyarországon.
| millió kWh | ti | t2 | t*y | yt | (y-yt)2
1989 | 29580 | -5 | 25 | -147900 | 28451,18 | 1274234,59
1990 | 28365 | -4 | 16 | -113460 | 29461,20 | 1201650,06
1991 | 29932 | -3 | 9 | -89796 | 30471,22 | 290753,89
1992 | 31238 | -2 | 4 | -62476 | 31481,23 | 59162,78
1993 | 32630 | -1 | 1 | -32630 | 32491,25 | 19251,01
1994 | 33928 | 0 | 0 | 0 | 33501,27 | 182098,49
1995 | 34978 | 1 | 1 | 34978 | 34511,29 | 217820,09
1996 | 35305 | 2 | 4 | 70610 | 35521,31 | 46788,29
1997 | 37023 | 3 | 9 | 111069 | 36531,32 | 241745,29
1998 | 36968 | 4 | 16 | 147872 | 37541,34 | 328721,05
1999 | 38567 | 5 | 25 | 192835 | 38551,36 | 244,61
Összesen | 368514 | 0 | 110 | 111102 | 368513,97 | 3862470,15
átlag | 33501,27 |  |  |  |  |
| β ∧ 1 = 1010,018
| β ∧ 1 = 33501,27
| Az yt-értékeket úgy kapjuk meg, hogy a trendegyenletbe rendre behelyettesítjük a t-értékeket. yt=33501,27+1010,018*(-5)=28451,18 yt=33501,27+1010,018*(-4)=29461,20 stb.
| s e 2 = ∑ ( y i − y i ) 2 ∧ n = 3862470,15 11 =351133,65 s e =592,565
| V e = s e y _ *100= 592,565 33501,27 *100=1,77%
| A függvény szerinti villamosenergia-temelés 1,77%-os hibával illeszkednek a tényleges adatokhoz.
| Nézzük meg, ha másmódon kódoljuk az időt, mi lesz a trendegyenlet!
| millió kWh | t | t2 | t*y | yt | y-yt | (y-yt)2
1989 | 29580 | 1 | 1 | 29580 | 28451,17 | 1128,83 | 1274257,17
1990 | 28365 | 2 | 4 | 56730 | 29461,19 | -1096,19 | 1201632,52
1991 | 29932 | 3 | 9 | 89796 | 30471,21 | -539,21 | 290747,424
1992 | 31238 | 4 | 16 | 124952 | 31481,23 | -243,23 | 59160,8329
1993 | 32630 | 5 | 25 | 163150 | 32491,25 | 138,75 | 19251,5625
1994 | 33928 | 6 | 36 | 203568 | 33501,27 | 426,73 | 182098,493
1995 | 34978 | 7 | 49 | 244846 | 34511,29 | 466,71 | 217818,224
1996 | 35305 | 8 | 64 | 282440 | 35521,31 | -216,31 | 46790,0161
1997 | 37023 | 9 | 81 | 333207 | 36531,33 | 491,67 | 241739,389
1998 | 36968 | 10 | 100 | 369680 | 37541,35 | -573,35 | 328730,223
1999 | 38567 | 11 | 121 | 424237 | 38551,37 | 15,63 | 244,2969
Összesen | 368514 | 66 | 506 | 2322186 | 368513,97 |  | 3862470,15
átlag | 33501,27 |  |  |  |  |  |
| ∑ y t =n* b 0 + b 1 * ∑ t ∑ t* y t = b 0 * ∑ t + b 1 * ∑ t 2 368514=11* b 0 + b 1 *66 2322186= b 0 *66+ b 1 *506
| b1=1010,02 b0=27441,15 yt=27441,15+1010,02*t

|  | 11.2. Exponenciális trend
| A társadalmi-gazdasági folyamatok változó környezetben nem mindig mutatnak lineáris tendenciát. Ha az időegységenkénti relatív változás ingadozik egy állandó körül, akkor a tartós irányzatot exponenciális trenddel fejezzük ki. Az exponenciális trendegyenletet logaritmus segítségével visszavezetjük lineárisra:
| y ∧ = β ∧ 0 * β ∧ 1 t lg⁡ y ∧ =lg⁡ β ∧ 0 +t* β ∧ 1 Y= B 0 +t* B 1
| A normálegyenlet:
| ∑ Y i =n* B 0 + B 1 * ∑ t i ∑ t i * Y i = B 0 * ∑ t i + B 1 * ∑ t i 2
| A Σt=0 esetében a normálegyenletek leegyszerűsödnek:
| ∑ Y i =n* B 0 ∑ t i *Y = B 1 * ∑ t i 2 B 0 = ∑ Y i n B 1 = ∑ t i * Y i ∑ t i 2 β ∧ 0 = 10 B 0 β ∧ 1 = 10 B 1
| A β 1 paraméter az időegységenkénti relatív változást mutatja.

|  | Bemutató feladat
| Exponenciális trend esetében először logaritmizálni kell az yiértékeket. A továbbiakban ezekkel az értékekkel számolunk.
| Egy üdülőövezet vendégeinek száma:
| efő | t | lgy | t*lgy | t2 | yt | y-yt | (y-yt)2
1992 | 136 | -5 | 2,133539 | -10,6677 | 25 | 119,7789 | -16,2211 | 263,1228
1993 | 152 | -4 | 2,181844 | -8,72737 | 16 | 134,9909 | -17,0091 | 289,3107
1994 | 157 | -3 | 2,1959 | -6,5877 | 9 | 152,1347 | -4,86529 | 23,67109
1995 | 166 | -2 | 2,220108 | -4,44022 | 4 | 171,4558 | 5,455813 | 29,76589
1996 | 183 | -1 | 2,262451 | -2,26245 | 1 | 193,2307 | 10,2307 | 104,6672
1997 | 188 | 0 | 2,274158 | 0 | 0 | 217,771 | 29,771 | 886,3124
1998 | 185 | 1 | 2,267172 | 2,267172 | 1 | 245,4279 | 60,42792 | 3651,533
1999 | 225 | 2 | 2,352183 | 4,704365 | 4 | 276,5973 | 51,59726 | 2662,277
2000 | 341 | 3 | 2,532754 | 7,598263 | 9 | 311,7251 | -29,2749 | 857,0189
2001 | 440 | 4 | 2,643453 | 10,57381 | 16 | 351,3142 | -88,6858 | 7865,17
2002 | 450 | 5 | 2,653213 | 13,26606 | 25 | 395,9311 | -54,0689 | 2923,445
| 2623 | 0 | 25,71677 | 5,724238 | 110 |  |  | 19556,3
| 238,4545 | 0 | 2,337888 |  |
| B 0 = ∑ Y i n = 25,71677 11 =2,338 B 1 = ∑ t i * Y i ∑ t i 2 = 5,724238 110 =0,052039 β ∧ 0 = 10 B 0 = 10 2,338 =217,771 β ∧ 1 = 10 B 1 = 10 0,052039 =1,127
| s e 2 = ∑ ( y i − y i ) 2 ∧ n = 19556,3 11 =1777,8455 s e =42,16
| V e = s e y _ *100= 42,16 238,4545 *100=17,68%
| A függvény szerinti létszámok 17,68%-os hibával illeszkednek a tényleges adatokhoz.

|  | 11.3. Választás a trendegyenletek közül
| Hasonlóan a regresszióanalízishez (III. Modul, 2.3.fejezet) a trendszámításnál is sok esetben nehéz eldönteni, hogyan melyik függvényt használjuk az elemzéshez. A kiválasztáshoz a legkisebb négyzetek módszerét használjuk. Az a függvény illeszkedik a legjobban az idősor adataihoz, amelyiknél ∑ ( y i − y ∧ i ) 2 a legkisebb.
| 11.4. Extrapoláció
| A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. Fontos, hogy előrejelzést csak abban az esetben végezhetünk, ha:
| Kellően hosszú idősorból határoztuk meg a trendegyenletet. Illetve, ha várhatóan nem következik be olyan változás, amely a vizsgált jelenséget nagymértékben megváltoztatja.

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje be a helyes állítást!
| 1/a. Trendszámításról beszélünk, ha...
| az idősor adataira valamilyen függvényt illesztünk.
| ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg.
| 1/b. Ha az adatokra az egyenletes változás jellemző, akkor
| lineáris trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit.
| exponenciális trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit.
| 1/c. A β ∧ 1 paraméter lineáris trend esetében...
| az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke.
| az időegységenkénti relatív változást mutatja.
| vizsgált idősor adatainak számtani átlaga.
| 1/d. Ha az adatokra időegységenkénti relatív változás jellemző, akkor...
| lineáris trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit.
| exponenciális trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit.
| 1/e. A β 1 paraméter az exponenciális trend esetében...
| az időegységenkénti relatív változást mutatja.
| az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke.
| vizsgált idősor adatainak számtani átlaga.
| 1/f. Extrtapolációt végezhetünk...
| bármilyen hosszúságú idősorból meghatározott trendegyenlet esetében.
| ha kellően hosszú idősorból határoztuk meg a trendegyenletet
| 2. Egy áruház forgalmának éves alakulása (millió Ft) a következő trendfüggvénnyel írható le: y t =20* 1,2 t ∧ , (t=1,2,3..,n). Válassza ki a helyes megállapítást!
| A forgalom évente átlagosan 1,2%kal nő.
| A forgalom évente átlagosan 20%kal emelkedik.
| A forgalom évente átlagosan 20 millió Ft-tal nő.
| A forgalom évente átlagosan 1,2 millió Ft-tal emelkedik.
| 3. A gabonatermesztés alakulása Magyarországon (millió tonna) 1994-2002 között
év | Termés mennyisége (millió tonna)
1994 | 11,7
1995 | 11,3
1996 | 11,3
1997 | 14,1
1998 | 13,0
1999 | 11,4
2000 | 10,0
2001 | 15,0
2002 | 11,7
| 3/a. Határozza meg a lineáris trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! (t=1,2,3,...n) A β ∧ 0 -paraméter értéke: A β ∧ 1 -paraméter értéke:
| 3/b. Határozza meg a reziduális szórást és a trend becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A reziduális szórás értéke: millió tonna A trendbecslés relatív hibája: %
| 3/c. Határozza meg az exponenciális trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! (t=1,2,3,...n) A β ∧ 0 -paraméter értéke: A β ∧ 1 -paraméter értéke:
| 3/d. Határozza meg a reziduális szórást és a trend becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A reziduális szórás értéke: millió tonna A trendbecslés relatív hibája: %
| 3/e. Jelölje meg, melyik trendfüggvény illeszkedik jobban az adatokra!
| Lineáris trendfüggvény
| exponenciális trendfüggvény
| 4. Egy egész évben nyitva tartó fagylaltárus negyedéves forgalmának alakulása
Év | Forgalom (ezer gombóc)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
2003 | 95 | 152 | 255 | 118
2004 | 102 | 146 | 248 | 124
2005 | 97 | 156 | 245 | 122
| 4/a Határozza meg a lineáris trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket: a β ∧ 0 -paraméterét egész számban, β ∧ 1 -paraméterét a 3 tizedesjegy pontossággal! ( Σt=0) A β ∧ 0 -paraméter értéke: A β ∧ 1 -paraméter értéke:
| 5. Egy áruház lineáris trend szerinti árbevétele 2000-ben 1440 millió Ft. A trend az 1993 és 2000 közötti időszakot jellemzi. Az árbevételnek a trend alapján 1992-re becsült értéke 1120 millió Ft.
| 5/a. Határozza meg a lineáris trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket egész számra kerekítve! (t=1, 2, 3, ..n) A β ∧ 0 -paraméter értéke: A β ∧ 1 -paraméter értéke:
| 5/b. Határozza meg a lineáris trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket egész számra kerekítve! ( Σt=0) A β ∧ 0 -paraméter értéke: A β ∧ 1 -paraméter értéke: