KURZUS: Statisztika II.

MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás

8. lecke: Kétváltozós korreláció- és regresszió-számítás: exponenciális és hatványkitevős függvények

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja a hatványkitevős és az exponenciális regresszió jelentését, tudja a nem lineáris regresszió szorosságának mérésére szolgáló mutatót, az adatok alapján ki tudja számolni a hatványkitevős és az exponenciális regressziót, az adatok alapján el tudja dönteni hogy milyen típusú regressziós függvény illeszkedik a legjobban.
| Tananyag
| Két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat leírására sok esetben nem alkalmas a lineáris függvény. Ha az x-változó y-változóra gyakorolt hatásának mértéke függ az x-változó nagyságától, akkor a lineáris regresszió nem alkalmas az adatok közötti kapcsolat elemzésére.
| 8.1. Hatványkitevős regressziós függvény
| Ha a független változó szorzatos növekedésével a függő változó is szorzatosan változik, akkor regressziós függvény az alábbi:
| Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az x és y változók logaritmusai között van lineáris összefüggés.
| β 1 regressziós együttható azt fejezi ki, hogy az x magyarázó változó egységnyi relatív (1%-os) változása mekkora relatív (hány százalékos) változást idéz elő az eseményváltozóban.
| Megoldásához linearizálni kell a regressziós függvényt:
| lg⁡y=lg⁡ β 0 + β 1 ⋅lg⁡x
| Látható, hogy az x és az y változók logaritmusa között lineáris a kapcsolat.
| β 1 = ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 lg⁡ β 0 = lg⁡y ¯ − β 1 * lg⁡x ¯
| Vezessünk be új ismeretleneket:
| lgy=Y; lgx=X; lg⁡ β 0 =B
| Így a függvényünk az alábbi:
| Y=B+ β 1 ⋅x
| A regressziós együtthatók így már a tanultak szerint számíthatóak:
| β 1 = ∑ ( X i − X − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( X i − X − ) 2 B= Y − − β 1 * X − β 0 = 10 B
| A paraméterek jelentése:
| A β 0 : ha az x=1része a függvény értelmezési tartományának, akkor van jelentése, azaz az x=1 helyen felvett regressziós érték. A β 1 : a magyarázóváltozó 1%-os változása az eredményváltozásban éppen A β 1 %-os változást okoz. A β 1 -együttható elaszticitási (rugalmassági) együttható is egyben, mivel megmutatja hogy az 1%-kal nagyobb x-értékhez hány százalékkal nagyobb vagy kisebb y-érték tartozik.
| A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:
| I= 1- ∑ e i 2 ∑ ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y ∧ i ) 2
| A korrelációs index értéke:
| 0≤I≤1
| A korrelációs index négyzetét százalékban fejezzük ki.

|  | Bemutató feladat
| Nézzük meg, hogy mennyire van hatással a gyökér súlya a gyökér felületére cukorrépa esetében.
| Először az eredeti adatok logaritmusát kell meghatározni. A továbbiakban ezekkel az értékekkel dolgozunk, azaz X és Y-értékei kerülnek a képletekbe.
| gyökér súlya x változó | gyökér felülete y váltó | lgx=X | lgy=Y | X2 | X-Xátlag | (X-Xátlag)2 | (Y-Yátlag) | (Y-Yátlag)2 | (X-Xátlag)*(Y-Yátlag)
| 26870 | 4472 | 4,429268 | 3,650502 | 19,61841 | 1,461268 | 2,135303 | 1,222502 | 1,494511 | 1,786402
| 15660 | 4152 | 4,194792 | 3,618257 | 17,59628 | 1,226792 | 1,505018 | 1,190257 | 1,416713 | 1,460198
| 6180 | 1728 | 3,790988 | 3,237544 | 14,37159 | 0,822988 | 0,67731 | 0,809544 | 0,655361 | 0,666245
| 2900 | 904 | 3,462398 | 2,956168 | 11,9882 | 0,494398 | 0,244429 | 0,528168 | 0,278962 | 0,261125
| 1500 | 472 | 3,176091 | 2,673942 | 10,08756 | 0,208091 | 0,043302 | 0,245942 | 0,060487 | 0,051178
| 650 | 260 | 2,812913 | 2,414973 | 7,912482 | -0,15509 | 0,024052 | -0,01303 | 0,00017 | 0,00202
| 280 | 48 | 2,447158 | 1,681241 | 5,988582 | -0,52084 | 0,271276 | -0,74676 | 0,557649 | 0,388943
| 130 | 39 | 2,113943 | 1,591065 | 4,468756 | -0,85406 | 0,729413 | -0,83694 | 0,700461 | 0,71479
| 60 | 24 | 1,778151 | 1,380211 | 3,161822 | -1,18985 | 1,41574 | -1,04779 | 1,097861 | 1,24671
| 30 | 12 | 1,477121 | 1,079181 | 2,181887 | -1,49088 | 2,222719 | -1,34882 | 1,819312 | 2,010925
össz. | 54260 | 12111 | 29,68282 | 24,28308 | 97,37557 | 0,002824 | 9,268563 | 0,003085 | 8,081486 | 8,588538
átlag | 5426 | 1211,1 | 2,968282 | 2,428308 |  |  |  |  |  |
| β 1 = ∑ ( X i − X − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( X i − X − ) 2 = 8,5885 9,2686 =0,9266 B 0 = Y − − β 1 * X − =2,4283−0,9266*2,9683=−0,3222 β 0 = 10 −0,3222 =0,4762 y ∧ =0,4762* x 0,9266

|  | 8.2. Exponenciáliss regressziós függvény
| Ha az adatok közötti összefüggést a:
| y ∧ = β 0 * β 1 x
| Függvénnyel írható le, akkor exponenciális regresszióról beszélünk. Olyan esetekben alkalmazzuk, ha az y-változó növekedése arányos az adott helyen felvett x-változó értékével. Az exponenciális függvények esetében is igaz, hogy lineáris összefüggés van az eredményváltozó logaritmusa és a magyarázóváltozó között. Hasonlóan a hatványkitevős regresszióhoz, ebben az esetben is visszavezetjük lineáris regresszióra:
| lg⁡ y ∧ =lg⁡ β 0 +x*lg⁡ β 1 Y= B 0 + B 1 *x
| B 1 = ∑ ( x i − x − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 β 1 = 10 B 1 B 0 = Y − − B 1 * x − β 0 = 10 B 0
| A paraméterek jelentése:
| A β 1 regressziós paraméter arra ad választ, hogy az x-változó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az y-változó értékét.
| A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:
| I= 1- ∑ e i 2 ∑ ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y ∧ i ) 2
| A korrelációs index értéke:
| 0≤I≤1
| 8.3. Választás a különböző regressziós egyenlet-típusok közül
| Ugyanarra az adatsorra kiszámolva mindhárom regressziós függvényt, felvetődik a kérdés, hogy melyik jellemzi legjobban a változók kapcsolatát. A függvények kiválasztáshoz az egyenletek illeszkedési módszerét, azaz a legkisebb eltérések-négyzetét használjuk. Az az egyenlet illeszkedik legjobban az adatokra, ahol az ( y i − y ∧ i ) 2 és az ( x i − x ∧ i ) 2 is a legkisebb, illetve ahol a kapcsolat szorosságát kifejező mutató a legnagyobb.

|  | Önellenőrző feladatok
| Válassza ki a helyes állítást!
| 1/a
| A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat általában lineáris.
| A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat sok esetben nem írható fel lineáris függvénnyel.
| 1/b. Ha a magyarázóváltozó szorzatos növekedésével a függőváltozó is szorzatosan nő, akkora kapcsolat
| Lineáris függvénnyel jellemezhető.
| Hatványkitevős függvénnyel jellemezhető.
| Exponenciális függvénnyel jellemezhető.
| 1/c. Ha az eredményváltozó növekedése arányos az adott helyen felvett értékével, akkor a kapcsolat
| Lineáris függvénnyel jellemezhető.
| Hatványkitevős függvénnyel jellemezhető
| Exponenciális függvénnyel jellemezhető.
| 1/d. Nem lineáris regresszió esetében a kapcsolat szorosságát a...
| korrelációs együttható fejezi ki.
| a korrelációs index fejezi ki.
| 30 véletlenszerűen kiválasztott négytagú aktív keresős háztartás adatai alapján vizsgálták a jövedelem és az üdülésre fordított kiadás nagyságát.
| A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:
| ∑ lg⁡ x i =77,1873 ∑ lg⁡ y i =22,2639 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =3,4003 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 =2,0633
| 2/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 4 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| Az egy főre jutó bruttó hazai termék és az egy főre jutó informatikai kiadást vizsgálva 9 európai országban az alábbi volt.
Sorszám | 1 főre jutó GDP (ezer euró) | 1 főre jutó informatikai kiadás (ezer euró)
1. | 3,5 | 38
2. | 4,4 | 75
3. | 11,5 | 88
4. | 4,7 | 136
5. | 11,9 | 150
6. | 19,5 | 375
7. | 24,8 | 525
8. | 25,7 | 585
9. | 26,7 | 884
| 3. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat!
| 3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket a 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 paraméter értéke: A β 1 paraméter értéke:
| 3/b. Jelölje be a helyes meghatározást!
| A β 0 paraméter, hogy 1 ezer euróval nagyobb 1 főre jutó GDP-hez átlagosan hány százalékal nagyobb 1 főre jutó informatikai kiadás tartozik.
| A β 0 paramétert nem értelmezzük.
| A β 1 paramétert nem értelmezzük.
| A β 1 paraméter kifejezi, hogy 1 ezer euróval nagyobb 1 főre jutó GDP-hez átlagosan hány százalékkal nagyobb 1 főre jutó informatikai kiadás tartozik.
| 3/c. Vizsgálja meg a kapcsolat szorosságát! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A korrelációs index értéke:
| 4. Egy zárthelyi dolgozat (maximum 50 pontot lehetett elérni) után felmérést készítettek a hallgatók körében, ki hány órát töltött tanulással. A felmérés során 10 hallgató tanulással töltött ideje és a vizsgán elért pontszámok között különböző regressziós függvények segítségével próbálták megállapítani a kapcsolt meglétét.
| A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:
| ∑ lg⁡ x i =8,279 ∑ lg⁡ y i =13,638 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =1,1047
| ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 =2,0458 ∑ ( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) 2 =0,6654
| ∑ ( x i )=105 ∑ ( y i )=271 ∑ ( x i − x ¯ ) 2 =716,5 ∑ ( y i − y ¯ ) 2 =1907
| ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ )=1107,5
| ∑ ( x i − x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =19,483
| ∑ e exp⁡. 2 =442,02 ∑ e hatv. 2 =139,36 ∑ e lin. 2 =195,03
| 4/a. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és a korrelációs indexet! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 paraméter értéke: A β 1 paraméter értéke: A korrelációs index:
| 4/b. Határozza meg a lineáris regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 paraméter értéke: A β 1 paraméter értéke: A korrelációs együttható:
| 4/c. Határozza meg a hatványkitevős regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 2 tizedesjegy pontossággal! A β 0 paraméter értéke: A β 1 paraméter értéke: A korrelációs index:
| 4/d. Egészítse ki a mondatot a megfelelőszóval! "A tanulásra fordított idő és az elért pontszám kapcsolatát a legjobban a ... regresszióval lehet kifejezni."
| hatványkitevős
| exponenciális