KURZUS: Statisztika II.

MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás

9. lecke: Többváltozós korreláció- és regresszió-számítás

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| ha tudja, milyen esetekben használjuk a többváltozós regressziót, mi befolyásolhatja a regressziós paraméterek értékét, mi a parciális rugalmassági együttható, mit jelent a páronkénti és a parciális korrelációs együttható, az adatokból ki tudja számolni a többváltozós regresszió együtthatóit, a rugalmassági együtthatót, a páronkénti-, a parciális- és a többszörös korrelációs együtthatót, a többszörös determinációs együtthatót
| Tananyag
| 9.1. Többváltozós regresszióanalízis
| A társadalmi-gazdasági élet jelenségei összetettebbek, bonyolultabbak annál, mint amit két tényező összefüggése kifejez. Egy-egy jelenség változása általában több tényező változásával van összefüggésben. Az eredményváltozóra ható tényezők körének kibővítésével többszörös vagy többváltozós sztochasztikus kapcsolathoz jutunk.
| A többváltozós regresszióanalízis segítségével több ismérv eredményváltozóra gyakorolt hatását vizsgáljuk. A kapcsolat az ismérvek száma szerint 3, 4 stb. változós, a függvény típusa szerint pedig lineáris és nem lineáris lehet.
| A többváltozós lineáris regressziós modell az alábbi:
| Y= β 0 + β 1 ⋅ x 1 + β 2 ⋅ x 2 +…+ β m ⋅ x m +ε
| Példaként csak 3 változós lineáris kapcsolattal foglalkozunk, de az itt elmondottak akármennyi változóra általánosíthatóak. Három változó esetén a függvényünk az alábbi:
| Y'=f(x1;x2)
| Azaz a regressziós függvényünk az alábbi lesz:
| y ∧ = β 0 + β 1 * x 1 + β 2 * x 2
| Az egyes paraméterek meghatározásához hasonlóan a kétváltozós regresszióhoz, itt is a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk.
| Háromváltozós függvény minimumát kell keresni. Ebből meghatározhatóak a regressziós együtthatók.
| A statisztikai elemzések során azonban főleg mintával találkozunk és elemzünk, így a minta segítségével becsüljük meg a regressziós függvényt. Ha az Y eredményváltozó értéke valószínűségi változó, de a magyarázóváltozók értékei ismertek, akkor standard lineáris regressziónak nevezzük.
| A legkisebb négyzetek módszerét használjuk a becslésre, és a feladat többváltozós szélsőérték számítással oldható meg. Így β ′ becslőfüggvénye az alábbi:
| β ′ =(XT*X)-1*XT*y, feltéve, hogy XT*X inverze létezik.
| Konkrét minta esetén a normálegyenletek az alábbiak:
| Σyi=n*b0+b1* Σx1i+b2* Σx2i Σx1i*yi=b0* Σx1i+b1* Σx1i2+b2* Σx1i*x2i Σx2i*yi= b0* Σx2i+b1* Σx1i*x2i+b2* Σx2i2
| Vezessünk be új változókat:
| x1i helyett x 1 i − x − 1 = d 1 i x2i helyett x 2 i − x − 2 = d 2 i yi helyett y i − y − = d y
| A zérussal egyenlő összegek elhagyása után a normálegyenlet maradványaiból a paraméterek könnyen meghatározhatóak.
| A 2. és 3. normálegyenletre:
| Σd1i*dy=b1* Σd1i2+b2* Σd1i*d2i Σd2i*dy= b1* Σd1i*d2i+b2* Σd2i2
| Ebből b1 és b2 könnyen meghatározható, a középiskolában tanult kétismeretes egyenletek megoldása szerint.
| Az első egyenletből pedig meghatározható a b0.
| b 0 = y − − b 1 * x − 1 − b 2 * x − 2
| A regressziós függvény paramétereinek értelmezése
| A becslőfüggvényünk:
| y ′ == β 0 + β 1 ⋅ x 1 + β 2 ⋅ x 2 .
| β 1 :Ha x1 értékét egy egységgel növeljük, miközben x2 értékeit változatlanul hagyjuk, akkor az eredményváltozó becsült értéke éppen b1 egységgel változik. β 2 : Az x2 egységnyi növelésével, ha x1 értékét változatlanul hagyjuk, akkor b2 az eredményváltozás becsült értékében bekövetkező hatás.
| A regressziós együttható tehát kifejezi, hogy egy adott tényezőváltozó egységnyi növekedése mekkora növekedést vagy csökkenést okoz az eredményváltozó becsült értékében, miközben a másik tényezőváltozók értéke változatlan. A regressziós együtthatók tehát 1-1 tényezőváltozó részleges hatását mutatják, ezért ezeket parciális regressziós együtthatóknak nevezzük.
| A paraméterek értelmezésekor fontos hogy a multikollineritást figyelembe vegyük. Multikollineritásnak nevezzük a tényezőváltozók közötti lineáris kapcsolatot. Ez a kapcsolat zavarhatja az eredmények értelmezését.
| A parciális regressziós együtthatóhoz hasonlóan a parciális rugalmassági együttható is értelmezhető. Ez a mutató arra ad választ, hogy egy adott tényezőváltozó relatív változása milyen relatív változást eredményez az y eredményváltozóban a másik változók változatlan színvonala mellett. Képlete:
| E (y, x j ) = d y d x j * x j y
| Regressziós függvényünkre alkalmazva:
| E (y, x j ) = b j * x j b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2
| Mint látható, a parciális rugalmassági együttható nagysága attól függ, hogy azt a tényezőváltozók milyen színvonala mellett számítjuk ki.

|  | Bemutató feladat
| 10 elemű minta alapján vizsgáljuk meg a szállítási időtartam (y), a szállítási távolság (x1), és a szállítási tömeg (x2) közötti összefüggést:
sorszám | száll. Időt. (y) | száll. Táv. (x1) | száll. tömeg. (x2) | dy | d1 | d2 | d12 | d22 | d1*d2 | d1*dy | d2*dy | dy2
1 | 10 | 4 | 4 | -17 | -11 | -2 | 121 | 4 | 22 | 187 | 34 | 289
2 | 13 | 4 | 5 | -14 | -11 | -1 | 121 | 1 | 11 | 154 | 14 | 196
3 | 8 | 2 | 2 | -19 | -13 | -4 | 169 | 16 | 52 | 247 | 76 | 361
4 | 20 | 10 | 5 | -7 | -5 | -1 | 25 | 1 | 5 | 35 | 7 | 49
5 | 27 | 19 | 5 | 0 | 4 | -1 | 16 | 1 | -4 | 0 | 0 | 0
6 | 35 | 20 | 7 | 8 | 5 | 1 | 25 | 1 | 5 | 40 | 8 | 64
7 | 22 | 16 | 6 | -5 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | -5 | 0 | 25
8 | 40 | 20 | 7 | 13 | 5 | 1 | 25 | 1 | 5 | 65 | 13 | 169
9 | 45 | 25 | 9 | 18 | 10 | 3 | 100 | 9 | 30 | 180 | 54 | 324
10 | 50 | 30 | 10 | 23 | 15 | 4 | 225 | 16 | 60 | 345 | 92 | 529
összesen | 270 | 150 | 60 | 0 | 0 | 0 | 828 | 50 | 186 | 1248 | 298 | 2006
Átlag | 27 | 15 | 6 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| A 2. és 3. normálegyenletre:
| Σd1i*dy=b1* Σd1i2+b2* Σd1i*d2i Σd2i*dy= b1* Σd1i*d2i+b2* Σd2i2 1248=828b1+186b2 298=186b1+50b2
| Megoldás a regressziós együtthatókra:
| b1=1,025 b2=2,148
| b 0 = y − − b 1 * x − 1 − b 2 * x − 2
| b0=27-1,025*15-2,148*6=-1,263
| A háromváltozós regresszió becslése:
| y'=-1,263+1,025x1+2,148x2
| A parciális rugalmassági együttható: az x1 szerinti átlagos rugalmassága:
| E (y, x j ) = b j * x j b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 = 1,025*15 −1,259+1,025*15+2,148*6 =0,569
| Ez azt jelenti, hogy átlagos szállítási távolság és átlagos szállítandó tömeg esetében 1%-os szállításút növekedés 0,569%-os menetidő növekedést okoz.
| az x2 szerinti átlagos rugalmassága:
| E (y, x j ) = b j * x j b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 = 2,148*15 −1,259+1,025*15+2,148*6 6=0,477
| Ez azt jelenti, hogy átlagos szállítási távolság és átlagos szállítandó tömeg esetében 1%-os szállítási tömegnövekedés 0,477%-os menetidő növekedést okoz.

|  | 9.2. Többváltozós korrelációszámítás
| Célja a többváltozós korreláció szorosságának mérése. Kettőnél több változó esetén vizsgálható:
| páronként, továbbá páronként, de a többi változó hatásának kiszűrésével, végül pedig az eredményváltozó és az összes tényezőváltozó közötti szorosság is mérhető.
| Páronkénti korrelációs együttható:
| Két-két változó közötti szorosságot mérjük. A kiszámított korrelációs együtthatókat az R-korrelációs mátrixba rendezzük.
| R=[ r y y .. r y 1 .... r y m r 1 y .. r 11 .... r 1 m . . r m y .. r m 1 ... r m m ]
| Ez egy szimmetrikus mátrix. A mátrix fődiagonálisában szereplő korrelációs együtthatók értéke 1.
| R=[ 1.. r y 1 ... r y 2 ....... r y m .....1..... r 12 ......... r 1 m ............1............ r 2 m . . .............................1 ]
| Y és x1 között: r y 1 = Σ d 1 * d y Σ d 1 2 *Σ d y 2
| Y és x2 között: r y 2 = Σ d 2 * d y Σ d 2 2 *Σ d y 2
| x1 és x2 között: r 12 = Σ d 1 * d 2 Σ d 1 2 *Σ d 2 2

|  | Bemutató feladat
| r y 1 = Σ d 1 * d y Σ d 1 2 *Σ d y 2 = 1248 828*2006 =0,9684
| r y 2 = Σ d 2 * d y Σ d 2 2 *Σ d y 2 = 298 50*2006 =0,9409
| r 12 = Σ d 1 * d 2 Σ d 1 2 *Σ d 2 2 = 186 828*50 =0,9141
| R=[ 1...0,9684...0,9409 ..........1.......0,9141 .........................1 ]
| Szoros, pozitív irányú kapcsolat van a menetidő és a távolság, illetve a menetidő és a rakomány súlya között. A távolság és a rakomány súlya között is erős a sztochasztikus kapcsolat.

|  | Parciális korrelációs együttható:
| Megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását mind a vizsgált tényezőváltozóból, mind az eredményváltozóból kiszűrjük.
| Y és x1 között, ha x2 hatását kiszűrjük: r y 1•2 = r y 1 − r y 2 * r 12 (1− r y 2 2 )*(1− r 12 2 )
| Y és x2 között, ha x1 hatását kiszűrjük: r y 2•1 = r y 2 − r y 1 * r 12 (1− r y 1 2 )*(1− r 12 2 )
| x1 és x2 között, ha y hatását kiszűrjük: r 12•y = r 12 − r y 1 * r y 2 (1− r y 1 2 )*(1− r y 2 2 )

|  | Bemutató feladat
| r y 1•2 = r y 1 − r y 2 * r 12 ( 1− r y 2 2 )*( 1− r 12 2 ) = 0,9684−0,9409*0,9141 ( 1− 0,9409 2 )*( 1− 0,9141 2 ) =0,7888
| r y 2•1 = r y 2 − r y 1 * r 12 (1− r y 1 2 )*(1− r 12 2 ) = 0,9409−0,9684*0,9141 (1− 0,9684 2 )*(1− 0,9141 2 ) =0,5508
| r 12•y = r 12 − r y 1 * r y 2 (1− r y 1 2 )*(1− r y 2 2 ) = 0,9141−0,9684*0,9409 (1− 0,9684 2 )*(1− 0,9409 2 ) =0,0343
| Látható, hogy lazább a kapcsolat, ha kiszűrjük a másik tényező hatását, a páronkénti kapcsolatot tehát a harmadik változó hatása mindegyik esetben felerősítette.

|  | Többszörös korrelációs együttható
| Egy speciális korrelációs együttható, amely az y eredményváltozó és a magyarázóváltozók alapján becsült regressziós értékek kapcsolatának szorosságát méri.
| R y•1,2,..m = Σ d y *Σ d y' Σ d y 2 *Σ d y' 2
| A páronkénti korrelációs együtthatókból is kiszámolható, 3 változós esetben az alábbi:
| R y•1,2,..m = r y 1 2 + r y 2 2 −2* r y 1 * r y 2 * r 12 1− r 12 2
| A többszörös korrelációs együttható négyzete a többszörös determinációs együttható, amely megmutatja, hogy az eredményváltozó teljes szórásnégyzetéből mekkora a regressziónak tulajdonítható, tehát a magyarázóváltozókkal magyarázható hányad.

|  | Bemutató feladat
| R y•1,2,..m = r y 1 2 + r y 2 2 −2* r y 1 * r y 2 * r 12 1− r 12 2 = = 0,9784 2 + 0,9409 2 −2*0,9684*0,9409*0,9141 1− 0,9141 2 = =0,978
| R2=0,95682=95,6%

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje be a helyes állítást!
| 1/a
| A többváltozós regressziós során több ismérv eredményváltozókra gyakorolt hatását vizsgáljuk.
| A többváltozós regressziós során több ismérv eredményváltozóra gyakorolt hatását vizsgáljuk.
| 1/b
| A regressziós paraméterek meghatározása a kétváltozós regressziónál megismert képletekkel történik.
| A legkisebb négyzetek módszerét használjuk a becslésre, és a feladat többváltozós szélsőérték számítással oldható meg.
| 1/c
| A többváltozós regresszió-számítás során súlyos gond lehet, hogy a magyarázóváltozók között multikollineritást figyelhetünk meg.
| A többváltozós regresszió-számítás során a magyarázóváltozók között általában nincs kapcsolat
| A többváltozós regresszió-számítás során a magyarázóváltozók között multikollineritást nem kell figyelembe venni.
| 1/d
| A parciális rugalmassági együttható arra ad választ, hogy egy adott tényezőváltozó relatív változása milyen relatív változást eredményez az y eredményváltozóban a másik változók változatlan színvonala mellett
| A parciális rugalmassági együttható arra ad választ, hogy egy adott tényezőváltozó relatív változása milyen relatív változást eredményez az y eredményváltozóban a másik változók változása mellett
| 1/e
| A páronkénti korreláció együttható a regressziós függvény illeszkedésének szorosságát fejezi ki.
| A páronkénti korreláció együttható két-két változó közötti szorosságot fejez ki.
| A páronkénti korreláció együttható megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között.
| 1/f
| Parciális korrelációs együttható megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását a vizsgált tényezőváltozóból, kiszűrjük.
| Parciális korrelációs együttható megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását mind a vizsgált tényezőváltozóból, mind az eredményváltozóból kiszűrjük.
| Parciális korrelációs együttható megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását az eredményváltozóból kiszűrjük.
| 2. Az egy főre jutó GDP, az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás (x1) és az egy főre jutó külföldi befektetések (x2) alakulását (mindegyik mutató: ezer Ft) vizsgálták Magyarország megyéiben és Budapesten. A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:
Σy=17418 | Σx1=3671 | Σx2=3189
Σd1i*dy=653221,7 | Σd1i2=310058,9 | Σd1i*d2i=399305,6
Σd2i*dy=888869,9 | Σd2i2=582563,0 | Σdy2=1693809,6
| 2/a. Határozza meg a többváltozós regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 paraméter értéke: A β 1 paraméter értéke: A β 2 paraméter értéke:
| 2/b Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! A mennyiben az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás 1 ezer Ft-tal nagyobb, az egy főre jutó GDP átlagosan ezer Ft-tal magasabb, azonos egy főre jutó külföldi tőkebefektetés mellett. A mennyiben az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés 1 ezer Ft-tal nagyobb, az egy főre jutó GDP átlagosan ezer Ft-tal magasabb, azonos az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás mellett. Nemzetgazdasági beruházás és külföldi tőkebefektetés nélkül a becsült egy főre jutó GDP ezer Ft.
| 2/c. Határozza meg a parciális rugalmassági együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! E(y; x1): E(y; x2):
| 2/d. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés átlagos értékének 1%-os növekedése átlagosan %-os egy főre jutó GDP növekedést eredményez, azonos egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás mellett. Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás átlagos értékének 1%-os növekedése átlagosan %-os egy főre jutó GDP növekedést eredményez, azonos egy főre jutó külföldi tőkebefektetés mellett.
| 2/e Határozza meg a páronkénti korrelációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! ry1= ry2= r12=
| 2/f. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés között szoros pozitív irányú kapcsolat van, a korrelációs együttható . Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó GDP között szoros pozitív irányú kapcsolat van, a korrelációs együttható . Az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés és az egy főre jutó GDP között szoros pozitív irányú kapcsolat van, a korrelációs együttható .
| 2/g. Határozza meg a parciális korrelációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! ry1.2= ry2.1= r12.y=
| 2/h. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés nagysága között laza pozitív irányú kapcsolat van, az egy főre jutó GDP hatását kiszűrve a korrelációs együttható . Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó GDP nagysága között laza pozitív irányú korreláció van, az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés hatását kiszűrve a korrelációs együttható . Az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés és az egy főre jutó GDP nagysága között laza pozitív irányú kapcsolat van, az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás hatását kiszűrve a korrelációs együttható .
| 2/i. Határozza meg a többszörös korrelációs és determinációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! Többszörös korrelációs együttható: Többszörös determinációs együttható:
| 2/j Írja be a megfelelő értéket a hiányzó helyre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés együttesen %-ban magyarázza az egy főre jutó GDP szóródását.