KURZUS: Statisztika II.

MODUL: I. modul: Becslés

2. lecke: Egymintás statisztikai becslések EV mintából

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja a becslőfüggvény jelentését, ki tudja választani a felsorolásból az egy és kétoldalú intervallum meghatározásának módját, használni tudja a "z"-, a "t"- és a χ 2 -táblákat, meg tudja határozni a valószínűségi szintet, önállóan ki tudja számolni az átlagra és a szórásra a konfidencia intervallumot, értelmezni tuja a kiszámított intervallumok jelentését, meg tudja határozni a minta szükséges elemszámát.
| Tananyag
| A statisztikai becslés az alapsokaságot alkotó valószínűségi változók eloszlásának, jellemzőinek és paramétereinek becslését jelenti az alapsokaságból vett mintából számított mutatók alapján. A statisztikai becsléseket úgynevezett becslőfüggvények segítségével végezzük el. A becslőfüggvény olyan valószínűségi-változó függvény, ami valamely sokasági jellemző mintából történő közelítő meghatározására szolgál.
| Egy sokasági jellemzőre több becslőfüggvény is készíthető. A hogy a véletlen minta elemei valószínűségi változók, ugyanúgy a becslőfüggvény értéke is az. Egy adott n-elemű minta csak egyetlen becsült értékkel rendelkezik. A minta alapján az alapsokaságnak többféle jellemzője is becsülhető, pl.:
| számtani átlag, értékösszeg, arány és megoszlás, hányados.
| A becslőfüggvény akkor lesz jó, ha a különféle (véletlen) minták esetén értéke a becsülni kívánt jellemző körül ingadozik, és az ingadozás lehetőleg kicsi. A becslőfüggvénnyel szemben támasztott követelmények:
| torzítatlanság, hatásosság, koncisztencia.
| Két becslőfüggvény közül, ha más kritériumot nem veszünk figyelembe, a torzítatlant részesítjük előnybe.
| Két torzított becslőfüggvény esetén azt tekintjük a jobbnak, amelyiknél a torzítás abszolút értéke kisebb.
| 2.1. Pontbecslés
| A becslőfüggvény értékéről közismert, hogy valószínűségi változó, de egy n elemű mintához csak egyetlen konkrét értéket rendelhetünk. Az eddig tanult sokasági jellemzők (átlag, szórás) becslését is elvégezhetjük pontbecsléssel. A számítás megegyezik például az átlag esetén a korábban tanultakkal (Statisztika I.). Az átlagról azonban tudjuk, hogy nem a sokaság minden tagjára vonatkozó adatok ismeretében számoltuk ki, hanem a mintából így bizonytalanságot rejt magába, ezért a pontbecslés helyett a leggyakrabban az un. intervallumbecslést alkalmazzuk.
| 2.2. Intervallumbecslés
| Azt keressük, hogy hol vannak a becslésnek azok az alsó és felső határai, amelyek nagy valószínűséggel tartalmazzák a becsülni kívánt jellemzőket. Ezt az intervallumot konfidencia intervallumnak nevezzük. A konfidencia intervallum számításának módja az, hogy a mintát és megfelelő külső információkat felhasználva előre megadott α függvényében meghatározzuk a az alsó (Ca) és a felső (Cf) határokat.
| P( Θ ∧ a(α) 〈Θ〈 Θ ∧ f(α) )=1−α
| Az 1−α az előre megadott megbízhatósági vagy konfidencia paraméter.
| Általában szimmetrikus intervallumokat keresünk. Az intervallumbecslésnél is több esetet különböztetünk meg.
| 2.2.1. Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokaság szórása ( σ) ismert
| A becsléshez a z-próbafüggvényt alkalmazunk. A valószínűségi változó.
| z= μ ∧ −μ σ n
| Keressük a z1 és z2 konfidencia intervallumot, amely 1−α valószínűséggel tartalmazza a z változót. Mivel μ-re, (várható értékre) keressük az intervallumot, ezért a konfidencia intervallum az alábbi lesz:
| μ ∧ − z p * σ n ; μ ∧ + z p * σ n ; .
| Konkrét minta esetén:
| x − − z p * σ n ; x − + z p * σ n ; .
| Először ki kell számolni a standard hibát:
| σ x ¯ = σ n
| A zp értékét "A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényeinek értékei" című táblázatból keressük ki a megfelelő valószínűségi szinten (p).
| A z p * σ n mennyiséget hibahatárnak vagy maximális hibának nevezzük, és Δ-val jelöljük.
| Δ= z p * σ n
| Az intervallumbecslés általában kétoldalú, mivel a becsült érték köré szimmetrikus intervallumot szerkesztünk, azaz az intervallum alsó és felső határát pontosan meghatározzuk. Ebben az esetben a táblázatból nem az ( 1−α ) valószínűségi szinthez tartozó értéket keressük, hanem az ( 1− α 2 )-hez tartozót. Pl. ha ( 1−α )=95%=0,95, akkor α=0,05, tehát α 2 =0,025, így ( 1− α 2 )=0,975. A "z"-értékek táblázatból a 0,975-höz tartozó értéket keressük ki, amely 1,96, azaz z0,975=1,96.
| Egyoldalú intervallum esetén, az ( 1−α ) valószínűségi szinthez tartozó értéket keressük, az intervallumnak csak a felső határát tudjuk megállapítani, az alsó határ a negatív végtelen lesz. A "z"-értékek táblázatból a 0,95-höz tartozó értéket keressük ki, amely 1,65, azaz z0,95=1,65.
| A becslési hibahatárt többféleképpen csökkenthetjük:
| Csökkentjük a standard hibát: a standard hiba, a mintaátlag szórása csak a minta elemszámától függ, mégpedig annak gyökével fordítottan arányos. Így az elemszám növelésével csökken a standard hiba, és ezáltal a konfidencia intervallum is. Csökkentjük a meg bízhatósági szintet, így azaz zp-értéke is kisebb lesz és szintén kisebb lesz a hibahatár.

|  | Bemutató példa
| Egy gépkocsi típus átlagos fogyasztásának szórása a gyári adatok alapján 0,9 l/100 km. A vizsgálat céljából vett 50 elemű minta átlaga 6,2 l/100 km. 95%-os megbízhatósági szinten állapítsuk meg a fogyasztás konfidencia intervallumát!
| a) Először ki kell számolni a standard hibát:
| σ x ¯ = σ n = 0,9 50 =0,13
| A "z"-értékek a "A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének értékei" című táblázatból keressük ki. Megkeressük a táblázat belsejében a 0,975-ös értéket,és leolvassuk az oldal- és fejlécet. Az oldallécben 1,96, a fejlécben 6 an tehát:
| z0,975=1,96
| Δ= z p * σ x ¯ =1,96*0,13=0,25
| (6,2−0,25; 6,2+0,25) A gépkocsik átlagos fogyasztása 5,95 és 6,45 l között van 100 km-ként.
| b) Nézzük meg, ha a minta elemszáma 100 lett volna, hogyan alakul a konfidencia intervallum.
| σ x ¯ = σ n = 0,9 100 =0,09 Δ= z p * σ x ¯ =1,96*0,09=0,1764≈0,18
| (6,2−0,18; 6,2+0,18) A gépkocsik átlagos fogyasztása 6,02 és 6,38 l között van 100 km-ként.
| c) Legyen a megbízhatósági szint 90%., az elemszám az eredetei, azaz n=50
| z0,95=1,65
| σ x ¯ = σ n = 0,9 50 =0,13 Δ= z p * σ x ¯ =1,65*0,13=0,2145
| (6,2−0,2145; 6,2+0,2145) A gépkocsik átlagos fogyasztása 5,9855 és 6,4145 között van 100 km-ként.

|  | 2.2.2. Normális eloszlású sokaság esetén, ha a sokasági szórás nem ismer, illetve nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, h nagy mintát vettünk
| Mivel az alapsokaság szórása nem ismert, így azt is becsülni kell, azaz a mintából számítjuk ki. Ilyenkor z-valószínűségi változó helyett t-valószínűségi változót (Student-féle eloszlás) használjuk.
| t= μ ∧ −μ s n
| A t-eloszlású valószínűségi változó szabadságfoka: szf=n-1. Először ki kell számolni a standard hibát:
| s x ¯ = s n
| A hibahatár: Δ= t p (s z f) * s n ,
| az intervallum pedig: ( x ¯ − t p (s z f) * s n ; x ¯ + t p (s z f) * s n )
| A t-eloszlás is szimmetrikus eloszlás, azaz a z-eloszláshoz hasonlóan alakul az egy kétoldalú intervallum. A szabadságfok növelésével a t-eloszlás egyre inkább közelít a normális eloszláshoz, száznál nagyobb mintaszám esetén a két eloszlás eltérése minimális.

|  | Bemutató példa
| Egy gépkocsi típus átlagos fogyasztásának vizsgálat céljából vett 50 elemű minta átlaga 6,2 l/100 km, szórása pedig 1,0 l/100km. 95%-os megbízhatósági szinten állapítsuk meg a fogyasztás konfidencia intervallumát!
| Először ki kell számolni a standard hibát:
| s x ¯ = s n = 1,0 50 =0,1414
| A "t"-értékek " A t (Student) eloszlású változó eloszlásának kvantilis értékei" című táblázatban találhatóak, az szf=49-es szabadságfoknál, és a 0,975-höz tartozó értéket keressük ki:
| t 0,975 ((49) =2,01
| Δ= t p * s x ¯ =2,01*0,1414=0,2842
| (6,2−0,2842; 6,2+0,2842) A gépkocsik átlagos fogyasztása 5,9158 és 6,4842 között van 100 km-ként.

|  | 2.2.3. Értékösszegsor becslése
| Nagyon nagy sokaság esetén általában nem az átlagra, hanem a sokasági értékösszegre keresünk konfidencia intervallumot. A feladat visszavezethető az átlagbecslésre.
| Ha a várható érték: μ= x − , akkor a sokasági értékösszeg
| S i =N* x −
| A konfidencia intervallum alsó és felső határa a várhatóértékre meghatározzak N-szerese lesz.
| N*( x − − z p * σ n );N*( x − + z p * σ n );
| Illetve:
| N*( x ¯ − t p (s z f) * s n );N*( x ¯ + t p (s z f) * s n )

|  | Bemutató feladat
| 50.000 üvegből vett 500 minta alapján az átlagos töltőtömeg 497 g, a töltőtömeg szórása 19,49g. 95%-os valószínűséggel mennyi lesz az 50000 üveg töltősúlya?
| s x ¯ = s n = 19,49 500 =0,8716
| t 0,975 ((499) =1,96
| Δ= t p * s x ¯ =1,96*0,8716=1,7083
| Az értékösszegsor konfidencia intervalluma 50000*(497−1,7083; 497+1,7083) g, azaz 24.765kg és 24935 kg között várható az 50.000 db üveg össztöltősúlya.

|  | 2.2.4. Sokasági aránybecslés
| A nem homogén sokaságot valamilyen minőségi vagy mennyiségi ismérv alapján két csoportba soroljuk és az egyes csoportokba esés valószínűségét kívánjuk meghatározni, akkor aránybecslést végzünk.
| A sokasági arányt p-vel jelöljük. Ez azt jeleni, hogy egy egyedet kiválasztva p a valószínűsége annak, hogy az egyed rendelkezik az adott tulajdonsággal. Továbbra is feltételezzük, hogy független, azonos eloszlású minta áll rendelkezésünkre.
| A standard hibát az arányokból számoljuk ki.
| σ p = p*(1−p) n vagy s p = p*(1−p) n
| A becslés a továbbiakban a z-próbafüggvénnyel történő becsléssel megegyező.

|  | Bemutató feladat
| A fővárosban 2000 megkérdezett közül 700 ember az egyik pártra szavazna. Becsüljük meg 99%-os valószínűséggel, hogy milyen határok között lesz az erre a pártra szavazók aránya az összeszámlálás után Budapesten.
| p=700/2000=0,35
| σ p = p*(1−p) n = 0,35*(1−0,35) 2000 =0,011
| 1− α 2 =1-0,005=0,995 z0,995 =2,58; Δ=2,58*0,011=0,028=2,8%
| (35-2,8; 35+2,8)=(32,2;37,8)%
| 99%-os valószínűséggel arra számíthatunk, hogy a kiválasztott pártra szavazók aránya 32,20% vés 37,8% között lesz.

|  | 2.2.5. Sokasági szórásnégyzet vagy szórás becslése
| A sokasági szórásnégyzet ( σ 2 ) becslésére a torzítatlan becslést eredményező korrigált tapasztalati szórásnégyzetet (s2) használjuk.
| s 2 = Σ (y− y − ) 2 n−1
| Ha Y normális eloszlású, akkor bizonyítható, hogy az χ 2 = (n−1)* s 2 σ 2 változó (n-1) szabadságfokú χ 2 -eloszlást követ. A χ 2 -eloszlás aszimmetrikus, így a konfidencia intervallum az alábbi:
| P( χ α/2 2 (s z f)〈 (n−1)* s 2 σ 2 〈 χ 1−α/2 2 (s z f))=1−α
| Átrendezve:
| P( (n−1)* s 2 χ 1−α/2 2 (s z f 〈 σ 2 〈 (n−1)* s 2 χ α/2 2 (s z f =1−α
| χ 1−α/2 2 (s z f) és a χ α/2 2 (s z f) értékét táblázatból kell kikeresni a megfelelő szabadságfoknál és valószínűségi szintnél.
| Konkrét minta esetén a szórás intervalluma a következő:
| (n−1)* s 2 χ 1−α/2 2 (s z f) 〈σ〈 (n−1)* s 2 χ α/2 2 (s z f)

|  | Bemutató feladat
| 250 g-os kávét csomagoló gép működését vizsgálva 100 elemű mintát veszünk. A töltési tömeg normális eloszlású. Határozzuk meg, hogy milyen határok között lesz a kávécsomagok töltési tömegének szórása 95%-os valószínűségen. Az átlag töltési súly 248g, a minta szórása 5,53g.
| Szf=100-1=99; α=0,05, α 2 =0,025, 1− α 2 =0,975,
| χ 2 0,025(99)=74,2; χ 2 0,975(99)=129,6
| Δ 1 = (n−1)* s 2 χ 0,975 2 = 99* 5,53 2 129,6 =4,83 g Δ 2 = (n−1)* s 2 χ 0,025 2 = 99* 5,53 2 74,2 =6,39 g
| A nettó töltési tömeg szóródása (ingadozása) 95%-os valószínűségi szinten 4,83g és 6,39g között van.

|  | 2.2.6. Adott intervallumszélességhez tartozó elemszám illetve valószínűségi szint meghatározása
| Eddig adott elemszám és valószínűségi szint mellett határoztuk meg a konfidencia intervallumot. A becsléskor azonban előre rögzíthetjük a hibahatárt és ehhez kell meghatározni a szükséges minta elemszámát adott valószínűségi szinten. Ha az elemszám és a hibahatár is adott, akkor meg tudjuk mondani, hogy hány százalékos valószínűséggel kerül a sokasági jellemző az adott elemszám esetén az előre meghatározott intervallumba.
| Elemszám meghatározása: adott az intervallum és a valószínűség.
| Mivel: ±Δ= z p * σ n illetve ±Δ= t p ( s z f ) * s n , átalakítás után az alábbiakat kapjuk:
| n= ( z p *σ Δ ) 2 illetve n= ( t p ( s z f ) *s Δ ) 2
| Valószínűségi szint meghatározása:
| ±Δ= z p * σ n és a ±Δ= t p ( s z f ) * s n képletek az átalakítás után az alábbiak:
| z p = Δ* n σ illetve t p ( s z f ) = Δ* n s .
| A kiszámított zp-értékhez tartozó táblázatbeli Φ( z ) -értékből tudjuk a valószínűséget kiszámítani:
| P=Ψ( z )=Φ( z )−( 1−Φ( z ) ) ,
| ahol P=Ψ( z ) : a keresett valószínűség, Φ( z ) : a kiszámított z-értékhez tartozó táblázatbeli érték.
| A t-eloszlás esetében a kiszámított értéket megkeressük a táblázatban az adott szabadságfoknál, és leolvassuk a hozzá tartozó valószínűséget.

|  | Bemutató feladat
| Egy vizsgálat során, megállapították, hogy a hallgatók átlagos testmagassága 169 cm és 173 cm között van 95%-os valószínűséggel. A sokaság szórása 9,99 cm.
| Hány hallgatót vontak be a vizsgálatba?
| n= ( z p *σ Δ ) 2 = ( 1,96*9,99 2 ) 2 =95,84 , azaz 96 hallgató testmagasságát mérték le.
| Mekkora valószínűségi szinten végezték a vizsgálatot, ha 200 hallgató esetében is ugyanezt a konfidencia intervallumot kapták?
| z p = Δ* n σ = 2* 200 9,99 =2,83
| A táblázatbeli Φ( z ) =0,9977 P=0,9977-(1-0,9977)=0,9954=99,54%. Tehát a vizsgálatot 99,54%-os megbízhatósági szinten végezték.

|  | Önellenőrző feladatsor
| 1. Jelölje meg a helyes megfogalmazást! Mi a becslőfüggvény?
| A becslőfüggvény egy olyan függvény, amely a minta alapján jellemzi a sokaságot.
| A becslőfüggvény egy olyan matematikai függvény, amely valamely sokasági jellemző mintából történő meghatározására szolgál.
| A becslőfüggvény egy olyan matematikai függvény, amely egy sokasági jellemző alapján határozza meg a mintát.
| 2. A becslőfüggvénnyel szemben támasztott követelmények:
| Pontosság
| Hatásosság
| Arányosság
| Torzítatlanság
| 3. Jelölje be a helyes állítást!
| Egyoldalú intervallumbecslés estén vagy az alsó vagy a felső határt számítjuk ki.
| Egyoldalú intervallumbecslés estén csak az alsó határt számítjuk ki.
| Egyoldalú intervallumbecslés estén csak a felső határt számítjuk ki.
| 4. Az alábbiakban megadott "z"-értékekhez keresse meg a hozzájuk tartozó valószínűségeket! A kiszámított értékeket 2 tizedesjegy pontossággal százalékban kifejezve írja be a táblázat megfelelő cellájába! Standard normális eloszlásfüggvény értékei
"z"-érték | 1,65 | 1,76 | 2,18 | 3,15
Egyoldalú becslés esetén | P(%)= |  |  |  |
Kétoldalú becslés esetén | P(%)= |  |  |  |
| 5. Keresse ki a megnevezett statisztikai táblából a megadott feltételek mellett a táblabeli értékeket! A kikeresett értékeket írja a táblázat megfelelő celláiba! Student eloszlás értékei ("t"-tábla)
Szabadságfok | P=95% | P=99%
Egyoldalú becslés esetén | Kétoldalú becslés esetén | Egyoldalú becslés esetén | Kétoldalú becslés esetén
19 |  |  |  |
40 |  |  |  |
100 |  |  |  |
| 6. Keresse ki a megnevezett statisztikai táblából a megadott feltételek mellett a táblabeli értékeket! A kikeresett értékeket írja a táblázat megfelelő celláiba! Khí2-eloszlás értékei
Szabadságfok | P=95% | P=99%
Egyoldalú becslés felső határa | Kétoldalú becslés | Egyoldalú becslés felső határa | Kétoldalú becslés
alsó határa | felső határa | alsó határa | felső határa
15 |  |  |  |  |  |
30 |  |  |  |  |  |
60 |  |  |  |  |  |
| Egy település háztartásának havi villamos-energia fogyasztás szerinti megoszlása
Villamosenergia-fogyasztás (kWh) | Háztartások száma (db)
-50 | 20
51-100 | 30
101-150 | 60
151-200 | 70
201-250 | 40
251-300 | 20
301- | 10
Összesen: | 250
| 7/a. Számítsa ki az átlagos fogyasztás mennyiségét és a szórást! A számításokat 1 tizedesjegy pontossággal végezze el! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A településen a háztartások átlagosan kWh villamos-energiát fogyasztanak A villamos-energia fogyagyasztás szórás (korrigált tapasztalati szórás) kWh.
| 7/b Készítsen az átlagra kétoldalú konfidencia intervallumot 95%-os valószínűséggel! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el, kivéve a szabadságfok esetén, azt egészszámokkal adja meg! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A becslés szabadságfoka: becsléshez szükséges táblázatbeli érték: A standard hiba: A hibahatár: Az intervallum alsó határa: kWh Az intervallum felső határa: kWh
| 7/c. A megfogalmazások közül válassza ki a megfelelőt!
| Egy 250 elemű minta alapján 95%-os valószínűség mellett állíthatjuk, hogy a település háztartásai átlagosan legalább 151,79 kWh és legfeljebb 170,21 kWh villamos energiát használnak.
| Egy 250 elemű minta alapján 95%-os valószínűség mellett állíthatjuk, hogy a település háztartásai átlagosan 151,81 kWh és 170,19 kWh közötti villamos energiát használnak.
| 7/d Mekkora elemszámú minta esetében lett volna a hibahatár 8kWh 95%-os valószínűségi szinten? Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményt kerekítse egészszámra! A szükséges minta elemszáma:
| Egy vállalat fizikai dolgozóinak megoszlása nettó keresetük alapján
Nettó kereset (eFt/hó) | Szakmunkás | Betanított munkás | Segédmunkás
-50 | 12 | 28 | 38
51-100 | 46 | 56 | 19
101-150 | 63 | 12 | 3
151- | 29 | 4 | 0
Összesen | 150 | 100 | 60
| 8/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Egész számokkal dolgozzon! A betanított munkások átlagkeresete: Ft/hó A betanított munkások átlagkeresetének szórása: Ft/hó
| 8/b Határozza meg milyen értékek között van a betanított munkások átlagkeresetének szórása 95%-os valószínűségi szinten! Az eredményeket egész számra kerekítve adja meg! A szabadságfok: A szórás intervallumának alsó határa: Ft /hó A szórás intervallumának felső határa: Ft /hó