KURZUS: Statisztika II.

MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése

12. lecke: Szezonális ingadozások elemzése

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja mit jelent a szezonalitás, mit jelent a szezonális eltérés és a szezonindex, ki tudja számolni az adatokból a szezonális eltérést és a szezonindexet, a meglévő adatok alapján előrejelzést tud végezni.
| Tananyag
| A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalitás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonális komponens eltérő módon viselkedik additív és multiplikatív modell esetén. Additív összefüggéskor a szezonhatás a trendtől való abszolút eltérés, multiplikatív kapcsolat esetén pedig a relatív eltérés formájában jelentkezik. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén pedig szezonindexekkel jellemezzük.
| 12.1. Szezonális eltérés
| Additív összefüggés és lineáris trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek összegeként írhatjuk fel.
| y i j = y ∧ i j + s ∧ j + v ∧ i j
| A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeiből rendre kivonjuk a trendértékeket:
| y i j − y ∧ i j = s ∧ j + v ∧ i j i j
| Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek nevezzük. Minden periódusból vesszük a j-edik eltérést és ezek számtani átlagát képezzük, ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk:
| s ∧ j = ∑ ( y i j − y ∧ i j ) p
| ahol p: az adott periódusok száma az idősorban.
| A szezonális eltérés megmutatja, hogy a megfigyelt idősor a j-edik szezonban átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől a szabályosan ismétlődő szezonhatás következtében.
| Lineáris trend esetében a kapott szezonális eltérések összege nullával egyenlő. Más trendfüggvények esetében:
| Σ s j ≠0
| Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára van szükség, ekkor a kiszámolt szezonális eltéréseket nyers szezonális eltéréseknek nevezzük. A korrekció azt jelenti, hogy a kiszámolt nyers szezonális eltéréseket átlagoljuk, és az így kapott un. korrekciós tényezőt levonjuk a nyers szezonális indexekből, és megkapjuk a korrigált szezonális eltéréseket.
| s ∧ j ' = s ∧ j − ∑ s ∧ j m .
| Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim).

|  | Bemutató feladat
| Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt.
Év | negyedév | árbevétel | ti
2004. | I. | 20 | -5,5
II. | 30 | -4,5
III. | 40 | -3,5
IV. | 10 | -2,5
2005. | I. | 22 | -1,5
II. | 33 | -0,5
III. | 50 | 0,5
IV. | 13 | 1,5
2006. | I. | 25 | 2,5
II. | 36 | 3,5
III. | 60 | 4,5
IV. | 15 | 5,5
Összesen | 354 | 0
| A kiszámított trendegyenlet: y ∧ =29,5+0,881*t
| Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket:
| pl. y ∧ =29,5+0,881*(−5,5)=24,655 y ∧ =29,5+0,881*(−4,5)=25,536 s t b.
| Az eredeti adatokból vonjuk ki a kiszámított trendértéket.
| Pl.: 20-24655=-4,655
Év | negyedév | árbevétel | ytrend | (yi-ytrend) Szezonális eltérés
2004. | I. | 20 | 24,655 | -4,655
II. | 30 | 25,536 | 4,465
III. | 40 | 26,417 | 13,584
IV. | 10 | 27,298 | -17,298
2005. | I. | 22 | 28,179 | -6,179
II. | 33 | 29,060 | 3,941
III. | 50 | 29,941 | 20,060
IV. | 13 | 30,822 | -17,822
2006. | I. | 25 | 31,703 | -6,703
II. | 36 | 32,584 | 3,417
III. | 60 | 33,465 | 26,536
IV. | 15 | 34,346 | -19,346
Összesen | 354 |  |
| Írjuk át egy másik táblázatba az idősor adatainak és a trendértékeknek a különbségét, azaz az egyedi szezonális eltéréseket. Ezután az egyes negyedévekhez tartozó érékeket átlagolni kell.
| Például az I. negyedév esetében (-4,655-6,179-6,703)/3=-5,845
Év | (yi-ytrend)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
2004 | -4,655 | 4,465 | 13,584 | -17,298
2005 | -6,179 | 3,941 | 20,060 | -17,822
2006 | -6,703 | 3,417 | 26,536 | -19,346
sj | -5,845 | 3,941 | 20,060 | -18,155
| Az első negyedévben átlagosan 5,845 millió Ft-tal kevesebb az árbevétel annál, mint ami a hosszú távú tendenciából az egyes évek első negyedéveiből következne.
| Korrekcióra nincs szükség, ugyanis az egyes negyedévek szezonális eltéréseinek összege nulla.

|  | 12.2. Szezonindex
| Multiplikatív összefüggés és exponenciális trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek szorzataként írhatjuk fel:
| y i j = y ∧ i j ∗ s ∧ j * ∗ v ∧ i j *
| A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeit rendre elosztjuk a trendértékekkel:
| y i j y ∧ i j = s ∧ j * ∗ v ∧ i j *
| Az így nyert hányadosokat egyedi szezonindexnek nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik szezonindexet és ezeket átlagoljuk vagy számtani vagy mértani átlagot számolunk:
| s ∧ j ∗ = ∑ ( y i j y i j ∧ ) n p
| Ahol n: az adatok száma P: az adott éven belül a periódusok száma
| Mértani átlaggal:
| s ∧ j ∗ = ∏ y i j y i j ∧ p
| A becsült szezonindex azt fejezi ki, hogy a j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa, illetve hány százaléka a trendértéknek a szezonhatás következtében.
| A szezonindexnél is célszerű korrekciót végezni, ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le. A korrekciós tényező az előzőekben kiszámolt nyers szezonindexek átlaga. A korrigált szezonindexet pedig úgy kapjuk, hogy a nyers szezonindexeket elosztjuk a korrekciós tényezővel.
| Ha a nyers szezonindexet számtani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi:
| s ∧ j ∗' = s ∧ j ∗ ∑ s ∧ j ∗ m
| Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim).
| Ha a nyers szezonindexet mértani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi:
| s ∧ j ∗' = s ∧ j ∗ ∏ s ∧ j ∗ m

|  | Bemutató feladat
| Az előző feladat alapján nézzük meg a szezonális eltéréseket.
| A kiszámított trendegyenlet: y ∧ =25,915* 1,020 t
| Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket:
| pl. y ∧ =25,915* 1,020 −5,5 =23,241
Év | negyedév | árbevétel | ytrend | (yi/ytrend) Szezonindex
2004. | I. | 20 | 23,241 | 0,861
II. | 30 | 23,706 | 1,266
III. | 40 | 24,180 | 1,654
IV. | 10 | 24,663 | 0,405
2005. | I. | 22 | 25,157 | 0,875
II. | 33 | 25,660 | 1,286
III. | 50 | 26,173 | 1,910
IV. | 13 | 26,696 | 0,487
2006. | I. | 25 | 27,230 | 0,918
II. | 36 | 27,775 | 1,296
III. | 60 | 28,330 | 2,118
IV. | 15 | 23,241 | 0,861
Összesen | 354 |  | 0
| Írjuk át az egyedi szezonindexeket egy másik táblázatba:
Év | (yi/ytrend)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
2004 | 0,861 | 1,266 | 1,654 | 0,405
2005 | 0,875 | 1,286 | 1,91 | 0,487
2006 | 0,918 | 1,296 | 2,118 | 0,519
sj* (számtani átlaggal) | 0,885 | 1,283 | 1,894 | 0,470
sj*' | 0,781 | 1,132 | 1,672 | 0,415
sj* (mértani átlaggal) | 0,8843 | 1,2826 | 1,8844 | 0,4678
sj*' | 0,8843 | 1,2827 | 1,8845 | 0,4678
| Számtani átlaggal számolva a nyers szezonindexeket ismét átlagolni kell, azaz ki kell számolni a korrekciós tényezőt: (0,885+1,283+1,894+0,470)/4=1,133. Ezzel a korrekciós tényezővel kell elosztani mindegyik nyers szezonindexet.
| Pl.: 0,885/1,133=0,781
| Mértani átlaggal számolva a korrekciós tényező:
| 0,8843*1,2826*1,8844*0,4678 4 =0,99996 , ezzel kell mindegyik nyers szezonindexet elosztani.
| Pl.: 0,8843/0,99996=0,8843

|  | 12.3. Véletlenhatás
| Az alapadatok és a trendadatok közötti eltérést a szezonhatás és a véletlenhatás okozza. Az azonos szezonokra vonatkozó eltérések átlagolásával kiszámítottuk a periodikus ingadozás abszolút (szezonális eltérés) vagy relatív (szezonindex) nagyságát. Az idősor komponenseiből már csak a véletlen tagot kell meghatározni.
| Additív összefüggés esetén:
| v ∧ i j = y i j − y ∧ i j − s ∧ j
| A véletlenhatás számításakor nem az egyes időpontok és a trendadatok közti különbségeket, hanem az egyes szezonokra jellemző korrigált szezonhatásokkal számolunk. A véletlenhatások várható értéke általában nulla, és nem jelezhetők előre.

|  | Bemutató feladat
| Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt.
Év | negyedév | árbevétel | ytrend | (yi-ytrend) Szezonális eltérés | v ∧ i j (addítív esetben)
2004. | I. | 20 | 24,655 | -4,655 | 1,1905
II. | 30 | 25,536 | 4,465 | 0,5235
III. | 40 | 26,417 | 13,584 | -6,4765
IV. | 10 | 27,298 | -17,298 | 0,8575
2005. | I. | 22 | 28,179 | -6,179 | -0,3335
II. | 33 | 29,060 | 3,941 | -0,0005
III. | 50 | 29,941 | 20,060 | -0,0005
IV. | 13 | 30,822 | -17,822 | 0,3335
2006. | I. | 25 | 31,703 | -6,703 | -0,8575
II. | 36 | 32,584 | 3,417 | -0,5245
III. | 60 | 33,465 | 26,536 | 6,4755
IV. | 15 | 34,346 | -19,346 | -1,1905
Összesen | 354 |  |  |
| Multiplikatív összefüggéskor pedig: v ∧ i j * = y i j y ∧ i j ∗ s ∧ j *
Év | negyedév | árbevétel | ytrend | (yi/ytrend) Szezonindex | v ∧ i j (multiplikatív esetben)
2004. | I. | 20 | 23,241 | 0,861 | 0,7611
II. | 30 | 23,706 | 1,266 | 1,6232
III. | 40 | 24,180 | 1,654 | 3,1174
IV. | 10 | 24,663 | 0,405 | 0,1897
2005. | I. | 22 | 25,157 | 0,875 | 0,7734
II. | 33 | 25,660 | 1,286 | 1,6496
III. | 50 | 26,173 | 1,910 | 3,6000
IV. | 13 | 26,696 | 0,487 | 0,2278
2006. | I. | 25 | 27,230 | 0,918 | 0,8119
II. | 36 | 27,775 | 1,296 | 1,6625
III. | 60 | 28,330 | 2,118 | 3,9910
IV. | 15 | 23,241 | 0,861 | 0,2428
| A véletlenhatások szorzatának várható értéke általában egy, és nem jelezhetők előre.

|  | 12.4. Extrapoláció
| A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. A meghatározott trendegyenletbe behelyettesítjük a becsülni kívánt évhez tartozó "ti"-értéket, és kiszámoljuk a trendértékét. Ezután ha van szezonhatás, akkor azzal korrigálunk. Additív összefüggés esetén a kiszámított trendértéket hozzáadjuk a szezonális eltérést, multiplikatív összefüggéskor a trendértéket megszorozzuk a szezonindexszel.

|  | Bemutató feladat
| Becsüljük meg 2007. II. negyedévére a várható árbevételt! ti=8,5
| Additív esetben:
| A trendegyenlet: y ∧ =29,5+0,881*8,5=36,9885
| A III. negyedév szezonális eltérése: 20,06 A várható árbevétel 36,9885+20,060=57,0485 millió Ft.
| Multiplikatív esetben:
| y ∧ =25,915* 1,020 t =25,915* 1,020 8,5 =30,666
| A III. negyedév szezonindexe:1,8844 A várható árbevétel 30,666*1,888457,787 millió Ft.

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje be a helyes állítást!
| 1/a. Az idősor szezonális kiigazítása azt jelenti, hogy
| A nyers szezonmutatókat korrigáljuk azok átlagával.
| Az idősor tényleges adataiból kiszűrjük a szezonhatást.
| Az eredeti és a trendadatok különbsége (hányadosa) alapján következtetünk a szezonhatásra.
| Az adott periódusra vonatkozó trendtől megtisztított idősor adatait átlagoljuk.
| 1/b. Mit jelent a szezonálisan kiigazított idősor?
| A szezonhatás becslését a szezonális eltéréssel vagy szezonindexszel
| A trend és a szezonalitás összekapcsolását.
| Az eredeti adatból a szezonhatás kiszűrését.
| Az eredeti adatból a véletlen tényező kiszűrését.
| 1/c. A szezonindex azt fejezi ki, hogy...
| A szezonális kilengések mértéke az egyes időszakokra mekkora.
| A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől.
| A j-edik szezonban a szezonhatás értéke átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
| A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
| 1/d. A szezonális eltérés azt fejezi ki, hogy...
| A szezonális kilengések mértéke az egyes időszakokra mekkora.
| A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől.
| A j-edik szezonban a szezonhatás értéke átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
| A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
| 1/e. Egy Balaton-parti étterem forgalmának negyedéves korrigált szezonindexei az alábbiak: s*I.=0,8 s*II.=0,9 s*III.=0 s*IV.=0,7
| A III. negyedévi szezonindex azt jelenti, hogy...
| A III. negyedévben a forgalom a szezonhatás miatt a kétszerese a trend szerinti értéknek.
| A III. negyedévben a forgalom a szezonhatás miatt fele a trend szerinti értéknek.
| A III. negyedévben a forgalom megegyezik a trend szerinti értékkel.
| 2. Egy egész évben nyitva tartó fagylaltárus negyedéves forgalmának alakulása
Év | Forgalom (ezer gombóc)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
2003 | 95 | 152 | 255 | 118
2004 | 102 | 146 | 248 | 124
2005 | 97 | 156 | 245 | 122
| Az alapirányzatot leíró trendfüggvény: y ∧ =155+1,762*t , ( Σt=0). A szezonhatás eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza:
Év | (yi-ytrend) Szezonális eltérés (ezer gombóc)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
2003 | -50,309 | 4,929 | 106,167 | -32,595
2004 | -50,357 | -8,119 | 92,119 | -33,643
2005 | -62,405 | -5,167 | 82,071 | -42,691
| 2/a. Számítsa ki a szezonális összetevők nagyságát az egyes negyedévekre. Írja be a cellákba a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!
Év | (yi-ytrend)
I. | II. | III. | IV.
negyedév
sj |  |  |  |
| 2/b. Becsülje meg 2006. III. negyedévére várható fagylaltforgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal! 2006. III. negyedévében a várható forgalom ezer gombóc.
| 3. Egy áruház negyedéves eladási forgalmának (millió Ft) trendje 2003-2005 között:
| y ∧ =80+3*t (t=1,2,3,...n).
IV. negyedévi értékesítések
2003 | 155
2004 | 163
2005 | 180
| 3/a. Mennyi a IV. negyedévi szezonális eltérés? Jelölje be a megfelelő értéket!
| 160%
| 80 millió Ft
| 62 millió Ft
| 62%
| 3/b Becsülje meg 2006. IV. negyedévére várható forgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal! 2006. IV. negyedévében a várható forgalom millió Ft.
| 4. A vándorfecskék számának negyedéves, 1998-2003 közötti adatai alapján ismert, hogy a hosszú távú trendet a y ∧ =21+37*t (t=1,2,3..n) függvény írja le, míg a szezonális eltérések rendre: -260; 420; 380; -540. Mekkora a 2004. IV. negyedévére várható fecskeszám? Jelölje be a megfelelő értéket!
| 1057
| 517
| 797
| 1477
| 5. egy sportboltban az elmúlt hatévi negyedéves síléceladások adataiból számított hosszú távú trendet a y ∧ =120∗ 1,03 t (t=1,2,3..n) függvény írja le. A szezonindexek rendre: 1,60; 0,25; 1,35; 1,85. Számítsa ki a vizsgált időszakot követő év III. negyedévére várható forgalmat! Jelölje be a megfelelő értéket!
| 266 db
| 360db
| 186 db
| 148 db