KURZUS: Statisztika II.

MODUL: II. modul: Hipotézisvizsgálat

5. lecke: Egymintás statisztikai próbák

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| ha ki tudja választani, hogy mely esetekben alkalmazhatóak az egyes próbák, önállóan el tudja dönteni a feladat alapján, hogy a hipotézisvizsgálathoz melyik próbafüggvény szükséges, fel tudja írni a feladatok alapján az alternatív hipotézist, végre tudja hajtani a hipotézisvizsgálatokat a megfelelő próbákkal (z-próba, t-próba, χ 2 -próba), meg tudja határozni a próbák (z-próba, t-próba, χ 2 -próba) elfogadási tartományát. ki tudja választani az eredmények alapján az eredmények helyes megfogalmazását.
| Tananyag
| Az egymintás statisztikai próbák a sokaság valamely paraméterének tesztelésére szolgálnak.
| 5.1. Várható értékre irányuló próbák
| Azt teszteljük, hogy egy sokaság ismeretlen várható értéke ( μ), megegyezik-e az általunk feltételezett várható értékkel ( μ 0 ). A nullhipotézis a következő:
| H0: μ= μ 0
| Konkrét minta esetén:
| H 0 : x ¯ = x ¯ 0
| Az alternatív hipotézisünk háromféle lehet:
| H1: μ< μ 0
| H1: μ≠ μ 0
| H1: μ> μ 0
| Konkrét minta esetén:
| H 0 : x ¯ 〈 x ¯ 0 H 0 : x ¯ ≠ x ¯ 0 H 0 : x ¯ 〉 x ¯ 0
| 5.1.1. Egymintás z-próba
| A sokaság normális eloszlású és a sokasági szórás ( σ) ismert, akkor hasonlóan a becsléshez, a z-próbafüggvényt alkalmazzunk.
| z 0 = μ ∧ − μ 0 σ n , illetve ismert minta esetén: z 0 = x − − x − 0 σ n
| Ez a próbafüggvény standard normális eloszlású valószínűségi változó.
| A z-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1: μ< μ 0 | [ z α ;∞ [
H1: μ≠ μ 0 | [ z α/2 ; z 1−α/2 ]
H1: μ> μ 0 | ] − ∞ ˙ ; z 1−α ]
| z α =− z 1−α

|  | Bemutató feladat
| Egy automata gépsor lisztet csomagol, a szabvány szerint 100 dkg-os tömeggel, és a megengedett szórás 3 dkg. Ellenőrzés céljából 30 db-os mintát veszünk. A lemért lisztes zacskók átlagos tömege 98 dkg. Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.
| H0: μ=100 dkg.
| H1: μ≠ 100 dkg
| z 0 = 98−100 3 30 =−3,65 z0,975 = 1,96; z0,025 = -1,96
| Az elfogadási tartomány nem tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-3,65), ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg nem felel meg a szabványnak.

|  | 5.1.2. Egymintás t-próba
| A normális eloszlású sokaság vizsgálatánál végezzük, ha nem ismerjük az eloszlás szórását. Ebben az esetben a
| t 0 = μ ∧ − μ 0 s n próbafüggvényt használjuk, illetve konkrét minta esetén: t 0 = x − − x − 0 s n , a nullhipotézis ellenőrzésére.
| Ha a nullhipotézis igaz, és a sokaság eloszlása valóban normális, akkor a t-próbafüggvény szf=n-1 szabadságfokú Student-féle t-eloszlást követ. A t-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1: μ< μ 0 | [ t α s z f ;∞ [
H1: μ≠ μ 0 | [ t α/2 s z f ; t 1−α/2 s z f ]
H1: μ> μ 0 | ] − ∞ ˙ ; t 1−α s z f ]
| t α s z f =− t 1−α s z f

|  | Bemutató feladat
| Az előző sokaság eloszlása normális, az átlag 98 dkg, a szórást a mintából (n=30) becsültük meg, ami 5,5 dkg Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.
| H0: μ=100 dkg.
| H1: μ≠ 100 dkg
| t 0 = 98−100 5,5 30 =−1,99
| t290,975=2,05; t290,025= -2,05
| Az elfogadási tartomány tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-1,99), ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg megfelel a szabványnak.

|  | 5.1.3. Asszimptotikus z-próba
| Véges szórású tetszőleges eloszlásból származó nagy minta esetén alkalmazzuk:
| z 0 = μ ∧ − μ 0 s n z 0 = x − − x − 0 s n
| A továbbiakban megegyezik az egymintás z-próbával.
| 5.2. Sokasági szórásra vonatkozó próba
| A sokasági szórás becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk. A konfidencia intervallum meghatározását a χ 2 -eloszlásra (khí) alapozzuk.
| χ 0 2 = (n−1)* s 2 σ 0 2 próbafüggvényt használjuk, amely szf=n-1 szabadságfokú χ 2 -eloszlást követ. A nullhipotézisünk:
| H0: σ= σ 0
| A χ 2 -próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:
Alternatív hipotézis | elfogadási tartomány
H1: σ< σ 0 | [ χ α( s z f ) 2 ;∞ [
H1: σ≠ σ 0 | [ χ α/2( s z f ) 2 ; χ 1−α/2( s z f ) 2 ]
H1: σ> σ 0 | ] 0; χ 1−α( s z f ) 2 ]

|  | Bemutató feladat
| Az előző példában feltételezzük, hogy a gép 3 dkg-os szórással tölt. A 30 elemű mintából számított szórás 5,5 dkg volt. Ellenőrizzük, hogy helyes volt-e a feltevés, hogy a gép maximum 3 dkg szórással tölt, 5%-os szifnifikancia szinten.
| H0: σ=3 dkg.
| H1: σ>3 dkg
| χ 0 2 = (30−1)* 5,5 2 3 2 =97,5
| A χ 0,95(29) 2 =42,6 , tehát az elfogadási tartomány (0; 42,6), a próbafüggvény értéke nem esik bele ebbe a tartományba, ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz a töltés során a szórás meghaladja az előírást.

|  | 5.3. Sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcsolatos próba
| A sokasági arányt P-vel jelöljük. Ez azt jeleni, hogy egy egyedet kiválasztva P a valószínűsége annak, hogy az egyed rendelkezik az adott tulajdonsággal. Ellenőrizni akarjuk, hogy a sokasági arány egyenlő-e egy általunk előre feltételezett P0-értékkel. A nullhipotézis a következő:
| H0:P=P0
| A nullhipotézis helyességet z-próbafüggvény segítségével ellenőrizhetjük.
| z P 0 = P− P 0 P 0 *(1− P 0 ) n
| A továbbiakban megegyezik az egymintás z-próbával.
| Az eddigiek során csak egy sokasági jellemzőre vonatkozó feltételezés vizsgálatát végeztük el. A hipotézisvizsgálattal azonban egy sokaságnak két sokasági jellemzője között fennálló kapcsolatot is ellenőrizhetünk.
| 5.4. Függetlenségvizsgálat
| A függetlenségvizsgálat azon nullhipotézis ellenőrzésére szolgál, hogy két ismérv független egymástól. Az alternatív hipotézisben pedig azt fogalmazzuk meg, hogy nem függetlenek.
| Ha a sokaságról teljes körű információval rendelkezünk, akkor az előző félévben tanult kontingenciatábla segítségével döntjük el a függetlenséget.
| A két ismérv akkor független egymástól, ha a peremmegoszlási viszonyszámok (relatív gyakoriságok) szorzata egyenlő s megfelelő együttes viszonyszámokkal:
| f 1 f• N * f •1 N = f 11 N
| Ha nem ismerjük a véges sokaságot, akkor a mintából származó adatokkal kell eldönteni a függetlenséget. Ilyenkor is egy kontingenciatáblából indulunk ki, de a táblázat ekkor a mintában észlelt gyakoriságokat tartalmazza.
| H0: P i j = P i• * P •j (i=1,2,....,s; j= 1,2,....t)
| H1: P i j ≠ P i• * P •j
| Pij: az első ismérv i-edik és a második ismérv j-edik változata együttes előfordulásának valószínűsége a sokaságban.
| A valószínűségeket a mintából becsüljük:
| p i• = n i• n p •j = n •j n
| χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( n i j − n i j * ) 2 n i j * =n*( ∑ i=1 s ∑ j=1 t n i j 2 n i• * n •j −1 ) n i j * =n* p i• * p •j = n i• * n •j n
| Vagy a Csuprov-féle együttható szerint, ahol
| f i = n i n χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * f i j * =n* P i• * P •j
| A szabadságfok: szf=(s-1)*(t-1)
| Ez a próba jobb oldali módon hajtható végre. A minta akkor tekinthető elég nagynak, ha még a legkisebb n*ij is legalább 5, de még jobb, ha legalább 10.

|  | Bemutató feladat
| Egy szociológiai vizsgálat során azt kívánjuk ellenőrizni, hogy az egyetemet végzett férfiak és nők előrejutási lehetőségei azonosnak tekinthetők-e. Ehhez a 15 éve végzett hallgatók közül 200 főt kiválasztva véletlenszerűen, az alábbi mintát kaptuk.
Megn. | Férfi | nő | ∑ n i•
Beosztott | 20 | 40 | 60
középvezető | 60 | 40 | 100
Felső vezető | 30 | 10 | 40
∑ n •j | 110 | 90 | 200
| A vizsgálatot 5%-os szignifikancia szinten végezzük el.
| H0: P i j = P i• * P •j H1: P i j ≠ P i• * P •j
Megnevezés | nij | n*ij = n i• * n •j n | ( n i j − n i j * ) 2 n i j *
Férfi | Beosztott | 20 | 60*110/200=33 | 5,121
| középvezető | 60 | 55 | 0,455
| Felső vezető | 30 | 22 | 2,909
Nő | Beosztott | 40 | 27 | 6,259
| középvezető | 40 | 45 | 0,556
| Felső vezető | 10 | 18 | 3,556
Σ |  | 200 | 200 | 18,856
| χ 2 0=18,856 szf=(3-1)*(2-1)=2
| χ 2 0,95(2)=5,99
| Mivel a kritikus érték kisebb, mint a számított érték, a H0-t elutasítjuk, tehát az adatok alapján 5%-os szignifikancia szinten elmondható, hogy a nemhez való tartozás és a beosztás függenek egymástól, azaz elutasítjuk a függetlenséget.

|  | 5.5. Illeszkedésvizsgálat
| Egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés ellenőrzését illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Attól függően, hogy a hipotézisünket mennyire konkretizáljuk, kétféle illeszkedésvizsgálatot különböztetünk meg:
| Ha a feltételezett eloszlás egyértelműen meghatározott - a típusát és a paramétereit előre rögzítjük -, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk. Ha a feltételezett eloszlásnak csak a típusát adjuk meg - a paramétereit pedig a mintából becsüljük -, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk.
| A sokaságot egy ismérv (többnyire mennyiségi, néha minőségi) alapján k-számú részre bontjuk, azaz az adott ismérv alapján osztályozzuk a sokaság egységeit. Ugyanezt azt osztályozást a mintán belül is elvégezzük.
Osztály | A kategória előfordulásának
valószínűsége | gyakorisága | relatív gyakorisága
a mintában
c1 | P1 | f1 | g1
c2 | P2 | f2 | g2
. | . | . | .
. | . | . | .
ck | Pk | fk | gk
összesen | 1,00 | n | 1,00
| Az általunk feltételezett sokaság eloszlása minden ismérvváltozathoz egy maghatározott Pi valószínűséget rendel. A nullhipotézis tehát:
| H0:P(ci)=Pi i=1,2,...k, az alternatív hipotézisünk pedig:
| H1:P(ci) ≠Pi
| A H0 helyességét a χ 2 -próbafüggvénnyel vizsgálhatjuk meg:
| χ 2 = ∑ I=1 K ( f i −n* P i ) 2 n* P i = ∑ ( f i − f i * ) 2 f i * =n*( ∑ g i 2 P i −1) f i * =n* P i
| Ez a statisztikai vizsgálat a nullhipotézis helyessége esetén jó közelítéssel szf=(k-b-1) szabadságfokú χ 2 -eloszlású, ahol a b a Pi valószínűségek meghatározásához szükséges olyan paraméterek száma, amelyeket a mintából becsülünk.
| b=1, ha a minta átlaga vagy szórása ismert b=2, ha a minta átlaga és szórása is ismert b=0, ha az alapsokaság átlaga vagy szórása adott
| Tiszta illeszkedésvizsgálat esetén a b=0.
| Mivel χ 2 -próbafüggvény a nullhipotézistől való jelentős eltérést nagy pozitív értékkel jelzi, ezért az illeszkedésvizsgálatot a jobb oldali kritikus tartományra kell végrehajtani, azaz a felső kritikus értéket kell keresni, tehát az elfogadási tartomány pedig:
| [ 0; χ 1−α(s z f) 2 ] .

|  | Bemutató feladat
| Egy gyorsbüfé hálózatban a vevőket 45 másodperc alatt kell kiszolgálni. A kiszolgálási idő megengedett szórása 7 másodperc. 400 véletlenül kiválasztott vendég kiszolgálási idő szerinti megoszlása a következő:
kiszolgálási idő (másodperc) | vendégek száma (fő)
0-35 | 20
35-40 | 80
40-45 | 100
45-50 | 100
50-55 | 60
55- | 40
Összesen | 400
| Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a minta az előírt paraméterű (átlag=45, szórás=7 másodperc) normális eloszlásból származott, P=5%-os szignifikancia szinten.
kiszolgálási idő (másodperc) | vendégek száma (fő) | zif=(xif- μ)/ σ | Φ Z(if)= P'i | Pi | f*i= n*Pi | (fi-f*i)2/f*i
0-35 | 20 | -1,43 | 0,0764 | 0,0764 | 30,56 | 3,65
35-40 | 80 | -0,71 | 0,2389 | 0,1625 | 65 | 3,46
40-45 | 100 | 0 | 0,5 | 0,2611 | 104,44 | 0,19
45-50 | 100 | 0,71 | 0,7611 | 0,2611 | 104,44 | 0,19
50-55 | 60 | 1,43 | 0,9236 | 0,1625 | 65 | 0,38
55- | 40 | ∞ | 1 | 0,0764 | 30,56 | 2,92
Összesen | 400 |  |  |  | 400 | 10,79
| A táblázatban vastagított számokat az alábbiak szerint kapjuk:
| zif=(xif- μ)/ σ=35-45/7=-1,43
| Φ(-Z(if))=1-P(zi1) táblázatból
| Pi=P'ik-P'ik-1=0,2389-0,0764=0,1625
| f*i=n*Pi=400*0,0764=30,56
| (fi-f*i)2/f*i=(20-30,56)2/30,56=3,65
| Ugyan így kell a többi értéket is kiszámítani
| χ 2 0=10,79
| Szf=6-1=5, χ 2 1-0,05(5)=11,1, az elfogadási tartomány (0;11,1). A számított érték az elfogadási tartományba esik, így elfogadjuk a nullhipotézist. A kiszolgálási időt 5%-os szignifikancia szinten 45 másodperc várható értékű és 7 másodperc szórású normális eloszlású valószínűségi változónak lehet tekinteni.
| 2. Egy széleskörű vizsgálat során, Magyarországon a 15 éves és idősebb népesség 15%-a sovány, 25 %-a normál súlyú, és 60 %-a túlsúlyos volt 1996-ban. 2005-ben 500 véletlenszerűen kiválasztott minta alapján 72 fő sovány, 176 fő normál súlyú és 252 fő pedig túlsúlyos volt. 1%-os szignifikancia szinten állíthatjuk-e, hogy a két eloszlás egyforma. A kérdés az illeszkedésvizsgálattal válaszolható meg.
Osztály | A kategória előfordulásának
valószínűsége | gyakorisága | relatív gyakorisága
a mintában
Sovány | 0,15 | 72 | 72/500=0,144
Normál | 0,25 | 176 | 176/500=0,352
túlsúlyos | 0,60 | 252 | 252/500=0,504
összesen | 1,00 | 500 | 1,00
| χ 2 =n*( ∑ g i 2 P i −1)=500*( 0,1444 2 0,15 + 0,352 2 0,25 + 0,504 2 0,60 −1)=28,608
| szf=3-1=2
| χ 2 0,99(2)=9,21
| A két eloszlás nem egyezik.

|  | Önellenőrző feladatok
| Jelölje meg a helyes választ!
| 1/a. Mely esetben alkalmazna z-próbát?
| Ha ismert a sokaság átlaga és a minta szórása.
| Ha ismert a sokaság szórása és átlaga.
| Ha ismeret a minta átlaga és szórása.
| 1/b. Mely esetben alkalmazna t-próbát?
| Ha ismert a sokaság átlaga és a minta szórása.
| Ha ismert a sokaság szórása és a minta átlaga.
| 1/c. Milyen próbát alkalmazna a sokasági szórás ellenőrzésére?
| z-próba.
| t-próba
| χ 2 -próba
| 1/d. Milyen próbát alkalmazna a sokasági arány ellenőrzésére?
| z-próba.
| t-próba
| χ 2 -próba
| 1/e. Milyen próbát alkalmazna egy sokasági változói eloszlásának vizsgálatára?
| z-próba.
| t-próba
| χ 2 -próba
| 1/f. Függetlenségvizsgálat során arra keressük a választ,
| hogy egy sokaság két ismérve független-e egymástól
| hogy két sokaság függetlene egymástól
| 2. Egy édesipari üzemben a cukorkát tartalmazó zacskók szabvány szerinti töltési tömege 50 dkg. A töltési tömeg normális eloszlású. Egy vizsgálat során a véletlenül kiválasztott 25 zacskó töltési tömege (dkg) az alábbi volt:
51,2 | 50,0 | 49,3 | 48,5 | 52,0
47,8 | 48,9 | 51,3 | 48,7 | 50,0
49,6 | 50,7 | 48,5 | 47,5 | 50,6
48,2 | 52,5 | 50,8 | 51,4 | 48,3
53,1 | 46,6 | 47,6 | 48,0 | 48,9
| 2/a. Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten, hogy a zacskók töltési tömege megfelel-e a szabvány szerinti tömegnek! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat az átlag esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A minta alapján az átlagos töltősúly: 49,6 dkg A minta alapján az átlagos töltősúly szórása: dkg A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 2/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 3. Egy fémmegmunkáló üzemben az egyik csavartípus hosszmérete 50,00 mm 0,10mm szórással. A hosszméret normális eloszlású valószínűségi változó. A gyártás során véletlenül kiválasztottak 26 db csavart annak vizsgálatára, hogy nincs-e szignifikáns eltérés a névleges hosszmérettől. A mérések eredményei az alábbiak (mm):
49,81 | 48,30 | 49,72 | 49,98 | 49,92 | 49,99 | 50,03 | 49,81 | 50,03
50,01 | 50,01 | 50,02 | 50,03 | 49,99 | 50,02 | 50,02 | 49,96 | 50,06
49,98 | 50,55 | 49,93 | 49,94 | 49,93 | 50,01 | 49,95 | 50,06 |
| 3/a. Vizsgálja meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy van-e szignifikáns eltérés a legyártott csavarok névleges és tényleges hosszmérete között! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat az átlag esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A minta alapján az átlagos hosszméret: 49,925 mm A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 3/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0
| 3/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A nullhipotézist elfogadjuk, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között nincs eltérés.
| A nullhipotézist elvetjük, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között van eltérés.
| A alternatív hipotézist elfogadjuk, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között nincs eltérés.
| Az alternatív hipotézist elvetjük, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között van eltérés.
| 4. Egy adott technológiával gyártott háztartási gép szabvány szerinti élettartama 12 ezer üzemóra, 3 ezer üzemóra szórással. Módosítottak a gyártási technológián és az új technológiával készült háztartási gépek közül kiválasztottak 100-at, ezek az átlagos élettartama 15 ezer üzemóra 3,2 ezer üzemóra szórással.
| Ellenőrizze 2%-os szignifikancia szinten, hogy az új technológiával gyártott háztartási gépek átlagos élettartama meghaladja-e a szabvány szerintit!
| 4/a Válassza ki a helyes hipotézist!
| H1: μ<12 ezer óra
| H1: μ>12 ezer óra
| H1: μ≠12 ezer óra
| 4/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket! A próbafüggvény számított értéke: Az intervallum felső határa:
| 4/c Jelölje be a helyes állítást!
| Az elfogadási tartomány alsó határa a mínusz végtelen.
| Az elfogadási tartomány alsó határa nulla.
| 5. Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten az előző feladat adati alapján, hogy a gépek élettartamának szórása eltér-e szabványtól!
| 5/a Válassza ki a helyes hipotézist!
| H1: σ<3 ezer óra
| H1: σ>3 ezer óra
| H1: σ≠3 ezer óra
| 5/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket! A számításokat 1 tizedesjegy pontossággal végezze el! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 5/c Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 6. Az egy főre jutó húsfogyasztás vizsgálatára 160 elemű mintát vettek, a minta adatai az alábbiak:
1 főre jutó húsfogyasztás (kg) | Megfigyelt személyek száma
-45 | 12
45-55 | 16
55-65 | 60
65-75 | 40
75-85 | 18
85- | 14
Összesen | 160
| Állapítsa meg, hogy az egy főre jutó húsfogyasztás tekinthető-e normális eloszlású valószínűségi változónak 5%-os szignifikancia szinten! A számításokat az átlag és a szórás esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben a bemutató feladatnál látható pontossággal végezze el!
| 6/a Válassza ki a helyes hipotézist!
| H1: P(Xi)< Pi
| H1: P(Xi > Pi
| H1: P(Xi) ≠ Pi
Megjegyzés: b=2, mert a minta átlaga és szórása ismert. | 6/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét és az intervallum felső határát 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 6/c Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0
| 7. Egy diabetikus szeretné meghatározni, hogy a napszak befolyásolja-e a kávéfogyasztást. A kávéház vendéginek mintája alapján feljegyezték a fogyasztást:
| Kora reggel | Késő reggel | Kora délután | Késő délután
Kávé rendelés | 3 | 5 | 8 | 11
Egyéb rendelés | 52 | 48 | 51 | 47
| 5%-os szignifikancia szinten a diabetikus elfogadja, vagy elutasítja azt a nullhipotézist, hogy a kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban?
| 7/a Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét és az intervallum felső határát 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 7/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H0
| H1
| 7/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban, azaz a kávéfogyasztás független a napszakoktól.
| A kávérendelések száma nem azonos a különböző napszakokban, azaz a napszak meghatározza a kávéfogyasztást.
| 8. A televíziós főszezon első 13 hetén keresztül vizsgálták szombat este 8-9 óra között a nézettségi arányokat: Az A-televíziót a nézők 29%-a, a B-televíziót a nézők 28%-a, a C-televíziót a nézők 25%-a, a D-televíziót a nézők 18%-a választotta. A társaságok megváltoztatták szombat esti programjaikat, majd a változtatás után két héttel 300 háztartást megkérdeztek, melyik adást nézik: A-televízió 95 háztartás, B-televízió 70 háztartás, C-televízió 89 háztartás, D-televízió 46 háztartás. Legyen a szignifikancia szint α=0,05 és vizsgálja, hogy megváltoztak-e a nézettségi arányok!
| 8/a Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A relatív gyakoriságot 2 tizedesjegyre kerekítve használja a számítások során! A próbafüggvény számított értéke: Az elfogadási tartomány alsó határa: Az intervallum felső határa:
| 8/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
| H1
| H0
| 8/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
| A nézettségi arányok megváltoztak a programváltozások után.
| A nézettségi arányok nem változtak meg a programváltozások után.